호모토피 이론에서 단체 리 대수(單體Lie代數, 영어: simplicial Lie algebra)는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.[1]:§Ⅰ.4
가환환 가 주어졌다고 하자. -단체 리 대수는 -리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각 자연수 에 대하여, -리 대수
- 위의 단체 집합 구조 , . 또한, 함수들은 모두 -리 대수 준동형이어야 한다.
단체 리 대수의 범주에서, -리 대수 → -가군 망각 함자
를 통해, 망각 함자
를 정의할 수 있다. 여기서 는 자연수 등급의 -가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를
라고 하자.
가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 에 대하여, 사슬 복합체 위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다.
여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다.
그렇다면, 는 -미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자
를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자
를 가진다. 구체적으로,
이다. 여기서
- 는 자유 리 대수 함자이다.
- 는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다.
- 는 로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다.
- 여기서 은 에일렌베르크-질버 사상 을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 를 취한 것이다.
모형 범주 구조[편집]
표수 0의 체 에 대하여, 단체 리 대수의 범주 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
또한, 이에 따라 함자 는 퀼런 동치를 이룬다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]