기르사노프 정리

기르사노프 정리(Girsanov theorem)는 측도의 변화에 따라 확률과정이 어떤 식으로 변하는지에 대해 설명하는 정리이다. 이 정리는 금융공학 분야에서 실제측도(physical measure)로부터 위험중립측도(risk-neutral measure)를 도출해내는 데 사용되며, 이렇게 도출한 위험중립측도는 파생상품의 가치를 계산하는 과정에서 매우 유용하게 쓰인다. 위험중립측도를 활용한 가격결정방법 중 대부분은 자산가격이 위너과정을 따른다고 가정하기 때문에, 확률과정이 위너과정이라는 특수한 경우에 대해서만 이 정리를 증명하더라도 실제로 활용하는 데 큰 문제가 없다.

내용

확률공간 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$와 위너과정을 따르는 확률변수 $W_{t}$, 그리고 여과 $\mathcal{F}_{t}^{W}$에 순응하는 측도가능한 함수 $X_{t}$가 있다고 가정하자. 만약 $X_{0}=0$일 경우 다음이 성립한다.

$Z_t=\mathcal{E} (X)_t\,$

여기서 $\mathcal{E}(X)$는 $X$의 $W$에 대한 돌레앙 지수(Doléans exponential)이며 다음과 같이 정의한다.

$\mathcal{E}(X)_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} [X]_t \right )$

여기서 $[X]$는 $X$의 이차변동성을 나타낸다.

따라서 $Z_t$는 항상 양의 값을 갖는 국소 마팅게일(local martingale)이며, 확률공간 $(\Omega,\mathcal{F})$에 대해 다음과 같은 라돈-니코딤 도함수를 갖는 새로운 확률측도 $\mathbb{Q}$를 정의할 수 있다.

$\frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}} |_{\mathcal{F}_t} = Z_t = \mathcal{E} (X )_t$

이 경우 만약 어떤 확률과정 $Y_t$가 확률측도 $\mathbb{P}$ 하에서 마팅게일이라면 아래와 같이 정의된 확률과정 $\tilde{Y}_t$는 여과확률공간 $(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{F}_{t},\mathbb{Q})$의 국소 마팅게일이다.

$\tilde Y_t = Y_t - \left[ Y,X \right]_t$

참고문헌

• Dellacherie, C. and P.-A. Meyer, 1980, "Probabilités et potentiel -- Théorie de Martingales" Chapitre VII, Hermann
• Girsanov, I. V., 1960, "On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures", Theory of Probability and its Applications
• Lenglart, E., 1977, "Transformation de martingales locales par changement absolue continu de probabilités", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit, 39, 65–70