이차변동성

이차변동성(quadratic variation)은 확률과정의 변동성을 나타내는 단위 중의 하나로, 확률과정 및 브라운 운동의 분석에 쓰인다.

정의

확률공간 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$에 대해 정의된 실수의 값을 갖는 확률과정 $X_{t}$가 존재하며 첨수 $t$가 0 또는 양의 값을 값는 첨수집합 $T$의 원소라고 가정할 경우, 다음과 같이 $X_{t}$의 이차변동성 과정 $[X_{t}]$를 정의할 수 있다.

$[X]_t=\lim_{\Vert P\Vert\rightarrow 0}\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2$

여기서 $P$는 구간 $[0,t]$에 대한 분할(partition)이다. 만약 $P$의 노름이 감소함에 따라 $X_{t}$가 확률적으로 수렴할 경우 이 극한값을 구할 수 있다.

이차교차변동성

이차변동성의 개념을 좀 더 확장할 경우 다음과 같이 두 확률과정 $X_{t}, Y_{t}$의 이차교차변동성(quadratic cross-variance) 역시 구할 수 있다.

$[X,Y]_t = \lim_{\Vert P\Vert \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}\right)$

이차교차변동성은 다음과 같이 이차변동성을 이용해 나타낼 수도 있다.

$[X,Y]_t=\frac{1}{2}([X+Y]_t-[X]_t-[Y]_t).$