이차변동성

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이차변동성(quadratic variation)은 확률과정의 변동성을 나타내는 단위 중의 하나로, 확률과정브라운 운동의 분석에 쓰인다.

정의[편집]

확률공간 (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})에 대해 정의된 실수의 값을 갖는 확률과정 X_{t}가 존재하며 첨수 t가 0 또는 양의 값을 값는 첨수집합 T의 원소라고 가정할 경우, 다음과 같이 X_{t}의 이차변동성 과정 [X_{t}]를 정의할 수 있다.

[X]_t=\lim_{\Vert P\Vert\rightarrow 0}\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2

여기서 P는 구간 [0,t]에 대한 분할(partition)이다. 만약 P노름이 감소함에 따라 X_{t}가 확률적으로 수렴할 경우 이 극한값을 구할 수 있다.

이차교차변동성[편집]

이차변동성의 개념을 좀 더 확장할 경우 다음과 같이 두 확률과정 X_{t}, Y_{t}이차교차변동성(quadratic cross-variance) 역시 구할 수 있다.

 [X,Y]_t = \lim_{\Vert P\Vert \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}\right)

이차교차변동성은 다음과 같이 이차변동성을 이용해 나타낼 수도 있다.

[X,Y]_t=\frac{1}{2}([X+Y]_t-[X]_t-[Y]_t).