뇌터 환

환론에서, 뇌터 환(Noether環, 영어: Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

정의

뇌터 가군

환 $R$ 위의 좌·우 가군 $M$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 좌·우 가군을 좌·우 뇌터 가군(영어: left/right Noetherian module)이라고 한다.

• $M$의 부분 가군들의 격자 $\operatorname {Sub} (M)$가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.^:20
• $M$의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 $N\subseteq M$에 대하여, (좌가군일 경우) $N=Rm_{1}+\cdots +Rm_{k}$ 또는 (우가군일 경우) $N=m_{1}R+\cdots +m_{k}R$인 $m_{1},\dots ,m_{k}\in M$이 존재한다.^{:20, (1.18)}

가환환 위의 가군의 경우, 좌·우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

뇌터 환

스스로 위의 좌가군으로서 뇌터 가군인 환을 좌 뇌터 환(영어: left Noetherian ring)이라고 한다. 마찬가지로, 스스로 위의 우가군으로서 뇌터 가군인 환을 우 뇌터 환(영어: right Noetherian ring)이라고 한다. 좌 뇌터 환이자 우 뇌터 환인 환을 뇌터 환(영어: Noetherian ring)이라고 한다.

가환환의 경우 좌 아이디얼과 우 아이디얼의 구분이 없으므로, 좌 뇌터 환 · 우 뇌터 환 · 뇌터 환의 개념이 전부 일치한다.

성질

환 $R$ 위의 좌가군 $M$ 및 부분 가군 $N\subseteq M$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:20, (1.20)}

• $M$이 뇌터 가군이다.
• $N$과 $M/N$ 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

좌 뇌터 환 $R$ 위의 유한 생성 좌가군은 뇌터 가군이다.^{:21, Proposition 1.21} (아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

집합으로서 유한 집합인 가군은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

가환 뇌터 환

가환환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 뇌터 환이다.
• 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$이 유한 생성 아이디얼이다.

예

뇌터 벡터 공간

체 $K$ 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 뇌터 가군이다.
• 아르틴 가군이다.
• 유한 차원 벡터 공간이다.

우 뇌터 환이 아닌 좌 뇌터 환

무한 차수의 체의 확대

$L/K$

$\dim _{K}L\geq \aleph _{0}$

가 주어졌다고 하자. (예를 들어, $L/K=\mathbb {R} /\mathbb {Q}$를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각 행렬환

${\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}$

를 생각하자. 이는 좌 뇌터 환이자 좌 아르틴 환이지만, 우 뇌터 환이나 우 아르틴 환이 아니다.^{:22, Corollary 1.24}

역사

에미 뇌터는 1921년 논문에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"이라고 불려지게 되었다.

바깥 고리

• “Noetherian ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Noetherian module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Noetherian ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Noetherian module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Noetherian ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Noetherian module”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 아르틴 환
• 뇌터 스킴