삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
헤론 공식 (Heron's formula)은 삼각형 의 세 변의 길이를 통해 넓이 를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다.
길이가 각
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
S
{\displaystyle S}
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
가 성립한다. 여기서,
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
이다.
또 다르게 적는다면
S
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}
S
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}
이렇게 된다.
이 공식은 알렉산드리아의 헤론 이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스 에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.
삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는
S
=
1
2
a
b
sin
C
⋯
(
1
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C\cdots (1)}
에서, 코사인 법칙 을 이용하면
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
sin
C
=
1
−
cos
2
C
=
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
4
a
2
b
2
{\displaystyle \sin C={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}={\sqrt {\frac {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}
여기서 얻어진
sin
C
{\displaystyle \sin C}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
S
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}
그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.
피타고라스 정리 에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.
x
2
+
h
2
=
b
2
{\displaystyle x^{2}+h^{2}=b^{2}}
이제
h
2
{\displaystyle h^{2}}
h
2
=
b
2
−
x
2
⋯
(
2
)
{\displaystyle h^{2}=b^{2}-x^{2}\cdots (2)}
같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.
h
2
=
a
2
−
(
c
−
x
)
2
{\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}}
이제
h
2
{\displaystyle h^{2}}
b
2
−
x
2
=
a
2
−
(
c
−
x
)
2
{\displaystyle b^{2}-x^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}}
위의 등식을 간단히 정리하여
x
{\displaystyle x}
x
=
1
2
c
(
c
2
+
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle x={\frac {1}{2c}}(c^{2}+b^{2}-a^{2})}
이를
(
2
)
{\displaystyle (2)}
h
2
=
b
2
−
(
1
2
c
(
−
a
2
+
b
2
+
c
2
)
)
2
{\displaystyle h^{2}=b^{2}-({\frac {1}{2c}}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}))^{2}}
위의 등식을 h에 대해 정리하면,
h
2
=
1
4
c
2
(
4
b
2
c
2
−
(
c
2
+
b
2
−
a
2
)
2
)
{\displaystyle h^{2}={\frac {1}{4c^{2}}}(4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2})}
∴
h
=
1
4
c
2
(
4
b
2
c
2
−
(
c
2
+
b
2
−
a
2
)
2
)
=
1
2
c
(
4
b
2
c
2
−
(
c
2
+
b
2
−
a
2
)
2
)
{\displaystyle \therefore h={\sqrt {\frac {1}{4c^{2}}}}{\sqrt {(4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2})}}={\frac {1}{2c}}{\sqrt {(4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2})}}}
삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.
S
=
c
h
2
=
c
2
1
2
c
4
b
2
c
2
−
(
c
2
+
b
2
−
a
2
)
2
{\displaystyle S={\frac {ch}{2}}={\frac {c}{2}}{\frac {1}{2c}}{\sqrt {4b^{2}c^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}}}}
∴
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle \therefore S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
단,
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
좌표상의 삼각형 ABC 그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저
a
=
Z
,
b
=
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
,
c
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle a=Z,b={\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}},c={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}
이때
s
=
Z
+
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
+
X
2
+
Y
2
2
,
(
s
=
a
+
b
+
c
2
)
{\displaystyle s={\frac {Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}},(s={\frac {a+b+c}{2}})}
s
−
a
=
−
Z
+
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
+
X
2
+
Y
2
2
{\displaystyle s-a={\frac {-Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}}
s
−
b
=
Z
−
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
+
X
2
+
Y
2
2
{\displaystyle s-b={\frac {Z-{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}}
s
−
c
=
Z
+
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
−
X
2
+
Y
2
2
{\displaystyle s-c={\frac {Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}-{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}}
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
(
−
Z
2
+
(
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
+
X
2
+
Y
2
)
2
)
2
4
{\displaystyle {\sqrt {\frac {(-Z^{2}+({\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})^{2})^{2}}{4}}}}
(
Z
2
−
(
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
−
X
2
+
Y
2
)
2
)
2
4
{\displaystyle {\sqrt {\frac {(Z^{2}-({\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}-{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})^{2})^{2}}{4}}}}
=
(
2
X
2
+
2
Y
2
−
2
X
Z
+
2
(
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
)
(
X
2
+
Y
2
)
)
4
{\displaystyle {\sqrt {\frac {(2X^{2}+2Y^{2}-2XZ+2{\sqrt {((X-Z)^{2}+Y^{2})(X^{2}+Y^{2})}})}{4}}}}
(
2
X
2
+
2
Y
2
−
2
X
Z
−
2
(
(
X
−
Z
)
2
+
Y
2
)
(
X
2
+
Y
2
)
)
4
{\displaystyle {\sqrt {\frac {(2X^{2}+2Y^{2}-2XZ-2{\sqrt {((X-Z)^{2}+Y^{2})(X^{2}+Y^{2})}})}{4}}}}
=
(
Y
Z
)
(
Y
Z
)
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {(YZ)(YZ)}}{2}}}
Y
Z
2
{\displaystyle {\frac {YZ}{2}}}
삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다.
S
=
1
2
B
C
×
h
=
1
2
Z
×
Y
=
Y
Z
2
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}BC\times h={\frac {1}{2}}Z\times Y={\frac {YZ}{2}}}
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다. 헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식 의 특별한 경우로 생각할 수 있다.
헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식 의 사변형에 대한 특별한 경우이다
헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다.
또한, 헤론의 공식을 행렬식 으로 표현하면 다음과 같다.
S
=
1
4
|
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
1
1
1
1
0
|
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}
사면체 의 부피를 케일리-멩거 행렬식 을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카 가 발견한 공식과 일치한다.[ 1] [ 2]
