함수 행렬식 (函數行列式, 영어 : functional determinant )은 무한차원 내적공간 (주로 함수 공간)에서의 선형 연산자 의 행렬식 이다. 유한차원에서의 행렬식은 간단하게 정의할 수 있지만, 무한차원에서는 이를 엄밀히 정의하기 힘들다. 그러나 양자론 에서는 경로적분 을 다루기 위하여 함수 공간에서의 임의의 미분 연산자의 행렬식을 (형식적으로나마) 취한다.
물리학에서는 다음과 같은 정의를 쓴다.
유한 차원의 유클리드 공간 에서는 (만약 좌변이 수렴한다면) 대칭행렬
A
{\displaystyle A}
∫
d
n
x
exp
(
−
1
2
x
T
⋅
A
x
)
=
1
det
(
A
/
2
π
)
{\displaystyle \int d^{n}\mathbf {x} \;\exp(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\cdot A\mathbf {x} )={\frac {1}{\sqrt {\det(A/2\pi )}}}}
따라서 임의의 함수 공간에서도 (브라-켓 표기법 을 쓰면) 유사하게 임의의 대칭 연산자
A
{\displaystyle A}
∫
D
ϕ
exp
(
−
1
2
⟨
ϕ
|
A
|
ϕ
⟩
)
=
1
det
(
A
/
2
π
)
{\displaystyle \int D\phi \;\exp(-{\tfrac {1}{2}}\langle \phi |A|\phi \rangle )={\frac {1}{\sqrt {\det(A/2\pi )}}}}
와 같이 정의한다.
또한, 다음 적분을 생각해 보자.
∫
d
n
x
d
n
y
exp
(
2
π
i
x
T
⋅
A
y
)
=
∫
d
n
x
δ
(
A
x
)
=
1
/
det
A
.
{\displaystyle \int d^{n}\mathbf {x} d^{n}\mathbf {y} \exp(2\pi \mathrm {i} \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\cdot A\mathbf {y} )=\int d^{n}\mathbf {x} \;\delta (A\mathbf {x} )=1/\det A.}
이에 따라 마찬가지로
∫
D
ϕ
D
ψ
exp
(
2
π
i
⟨
ϕ
|
A
|
ψ
⟩
)
=
1
/
det
A
{\displaystyle \int D\phi \;D\psi \;\exp(2\pi i\langle \phi |A|\psi \rangle )=1/\det A}
와 같이 정의한다.
반가환수 의 경우에는 함수 행렬식은 다음과 같이 정의할 수 있다.
두 반가환수
ψ
{\displaystyle \psi }
χ
{\displaystyle \chi }
∫
d
ψ
d
χ
exp
(
χ
ψ
)
=
∫
d
ψ
d
χ
(
1
+
a
χ
ψ
)
=
∫
d
ψ
a
ψ
=
a
{\displaystyle \int d\psi d\chi \exp(\chi \psi )=\int d\psi d\chi (1+a\chi \psi )=\int d\psi a\psi =a}
다차원으로 일반화하면, 임의의 대칭 연산자
A
{\displaystyle A}
∫
d
ψ
d
χ
exp
(
χ
T
A
ψ
)
=
det
A
{\displaystyle \int d\psi d\chi \exp(\chi ^{\mathsf {T}}A\psi )=\det A}
브라-켓 표기법으로는
∫
D
ψ
D
χ
exp
(
⟨
χ
|
A
|
ψ
⟩
)
=
det
A
{\displaystyle \int D\psi D\chi \exp(\langle \chi |A|\psi \rangle )=\det A}
이 된다.
마찬가지로
J
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
이 주어지면,
∫
d
2
ψ
exp
(
1
2
a
ψ
T
J
ψ
)
=
∫
d
ψ
2
d
ψ
1
(
1
+
a
ψ
1
ψ
2
)
=
a
=
det
(
a
J
)
=
Pf
(
a
J
)
{\displaystyle \int d^{2}\psi \exp \left({\frac {1}{2}}a\psi ^{\mathsf {T}}J\psi \right)=\int d\psi _{2}d\psi _{1}\;(1+a\psi _{1}\psi _{2})=a={\sqrt {\det(aJ)}}=\operatorname {Pf} (aJ)}
여기서
Pf
(
a
J
)
{\displaystyle \operatorname {Pf} (aJ)}
파피안 이다.
따라서 임의의 반대칭 연산자
A
{\displaystyle A}
∫
d
2
ψ
exp
(
ψ
T
A
ψ
)
=
det
A
=
Pf
A
{\displaystyle \int d^{2}\psi \exp(\psi ^{\mathsf {T}}A\psi )={\sqrt {\det A}}=\operatorname {Pf} A}
가 된다.
따라서 반가환수의 함수 행렬식은 가환수의 함수 행렬식의 역임을 알 수 있다. 즉, 일반적으로 함수 행렬식의 역을 취하려면 가환수 변수를 반가환수로 치환하면 된다.
함수 행렬식을 엄밀하게 정의하려면, 보통 제타 함수 조절 을 사용한다.
D
{\displaystyle D}
스펙트럼 이 고윳값들
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
s
{\displaystyle s}
ζ
D
(
s
)
=
∑
i
;
λ
i
≠
0
λ
i
−
s
{\displaystyle \zeta _{D}(s)=\sum _{i;\lambda _{i}\neq 0}\lambda _{i}^{-s}}
이를 연산자
D
{\displaystyle D}
제타 함수 (zeta function )이라고 한다. 이 함수를
s
{\displaystyle s}
해석적 연속 하자. (이는 보통 리만 제타 함수 들로 나타내어지게 된다.) 그렇다면
det
D
=
exp
(
−
ζ
D
′
(
0
)
)
{\displaystyle \det D=\exp(-\zeta _{D}'(0))}
으로 정의할 수 있다. (제타 함수를 정의할 때, 유한한 행렬식을 얻기 위하여 보통 고윳값이 0인 모드를 제외한다.)
콤팩트 리만 다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자 의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다. 예를 들어, 3차원 구
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
det
Δ
=
π
exp
(
ζ
(
3
)
/
π
2
)
{\displaystyle \det \Delta =\pi \exp(\zeta (3)/\pi ^{2})}
이다.[ 1]
