스튜던트 t 분포

t-분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	$\nu >0$ 자유도(실수값)
지지집합	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
확률 밀도	${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}\!$
누적 분포	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$, 여기에서 $\,_{2}F_{1}$은 초기하함수
기댓값	$\nu >1$일때 0, 나머지는 정의되지 않음
중앙값	0
최빈값	0
분산	${\frac {\nu }{\nu -2}}$($\nu >2$), $\infty$($1<\nu \leq 2$), 나머지는 정의되지 않음
비대칭도	$\nu >3$일때 0
적률생성함수	정의되지 않음
특성함수	${\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|)({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}},\;\nu >0$, $K_{\nu }(x)$는 베셀 함수

t-분포(t-distribution)는 정규 분포의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.

정의

t-분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다.

${\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}$

여기에서 $Z$는 표준정규분포, $V$는 자유도 $\nu$인 카이제곱 분포이다.

정규분포에서의 추정

어떤 정규분포의 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma ^{2}$일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 $X_{1},\cdots ,X_{n}$라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$

$S_{n}^{\;2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}$

이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 불편추정값이다. 이때,

$V=(n-1){\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}$

은 자유도가 $n-1$인 카이제곱 분포가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한

$Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}$

는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, $V,Z$는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.

이때 $Z$에서 $\sigma ^{2}$ 대신 $S_{n}^{\;2}$로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.

$T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{S_{n}}}$

이때 $T$에는 $\sigma ^{2}$가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 $\mu$를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 $T$의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.

구간추정

자유도 n-1인 t-분포 $T$에 대해,

$\Pr(-A<T<A)=0.9$

을 만족하는 실수 $A$는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,

$\Pr(-A<T<A)=\Pr \left(-A<{{\overline {X}}_{n}-\mu \over S_{n}/{\sqrt {n}}}<A\right)=\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}\right)=0.9$

이므로, 정규분포의 평균은 90%의 신뢰도로 ${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$ 신뢰구간에 속하게 된다.

같이 보기

• 카이제곱 분포
• F 분포
• 정규분포