기약 다항식

수학에서, 기약 다항식(旣約多項式,영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식이다.

정의

$R$가 정역이라고 하자.

차수 1 이상의 다항식 $p(x)\in R[x]\setminus R$가 다음 조건을 만족시키면, 기약 다항식이라고 한다.

• (기약원) 임의의 $q(x),r(x)\in R[x]$에 대하여, $p(x)=q(x)r(x)$라면, $\deg q(x)=0$이거나 $\deg r(x)=0$이다.

원시 다항식

$R$가 유일 인수 분해 정역이라고 하자.

다항식 $0\neq p(x)\in R[x]$의 내용(內容, 영어: content) $\operatorname {c} _{R}(p(x))$은 계수의 최대 공약수이다.

$\operatorname {c} (p(x))=\gcd\{p_{0},\dots ,p_{\deg p}\}$

내용이 가역원인 다항식(즉, 계수가 서로소인 다항식)을 원시 다항식이라고 한다.

성질

가우스 보조정리

다항식 $p(x),q(x)\in R[x]$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {c} (p(x)q(x))=\operatorname {c} (p(x))\operatorname {c} (q(x))$

특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 가우스 보조정리(Gauß補助定理, 영어: Gauss's lemma)라고 한다.

증명:

두 원시다항식 $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},$ $g(x)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}$의 곱

$f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{m+n}c_{k}x^{k},\quad c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}$

이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 소수 $p$가 $c_{k}$의 공약수로 존재한다.

$s=\min\{i:p\nmid a_{i}\},\quad t=\min\{j:p\nmid b_{j}\}$

라고 하면, $p\nmid a_{s},$ $p\nmid b_{t}$이고, 임의의 $i<s,$ $j<t$에 대해 각각 $p\mid a_{i},$ $p\mid b_{j}$이다. $c_{s+t}$의 전개에서, $a_{s}b_{t}$ 외의 남은 항 $a_{i}b_{j}$는 $i<s$ 또는 $j<t$를 만족하므로(그렇지 않으면 $i+j>s+t$이어서 모순이다), 모두 $p\mid a_{i}b_{j}$이다. $p\mid c_{s+t}$도 성립함에 따라 $p\mid a_{s}b_{t}$이다. 따라서 $p\mid a_{s}$ 또는 $p\mid b_{t}$이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, $f(x)g(x)$는 원시다항식이다.

환론적 성질

$R$가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 $p(x)\in R[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 $R[x]$에서 기약 다항식이다.
• $p(x)$는 $(\operatorname {Frac} R)[x]$에서 기약 다항식이다.

기약성 판정법

다항식의 기약성의 판정법에는 아이젠슈타인 판정법이 있다.

외부 링크

• “Irreducible polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.