기약 다항식

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수학에서, 기약 다항식(旣約多項式, 영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수다항식으로 표시되지 않는 다항식이다.

정의[편집]

정역이라고 하자.

차수 1 이상의 다항식 가 다음 조건을 만족시키면, 기약 다항식이라고 한다.

  • (기약원) 임의의 에 대하여, 라면, 이거나 이다.

원시 다항식[편집]

유일 인수 분해 정역이라고 하자.

다항식 내용(內容, 영어: content) 은 계수의 최대 공약수이다.

내용이 가역원인 다항식(즉, 계수가 서로소인 다항식)을 원시 다항식(原始多項式, 영어: primitive polynomial)이라고 한다.

분류[편집]

복소수체 위의 기약 다항식[편집]

복소수체대수적으로 닫힌 체이므로, 기약 다항식은 1차 다항식뿐이다.

실수체 위의 기약 다항식[편집]

실수체 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 판별식이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.

증명:

1차 다항식의 기약성
어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성
어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성
판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.
3차 이상의 다항식의 비기약성
가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, 대수학의 기본 정리에 따라 복소수 영점 가 존재한다. 만약 라면, 이므로 는 기약 다항식이 아니다. 만약 이라면, 그 켤레 복소수 역시 영점인데, 이는 이기 때문이다. 따라서, 이므로, 는 기약 다항식이 아니다.

성질[편집]

가우스 보조정리[편집]

가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 에 대하여, 다음이 성립한다.

특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 가우스 보조정리(Gauß補助定理, 영어: Gauss's lemma)라고 한다.

증명:

두 원시다항식 의 곱

이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 소수 공약수로 존재한다.

라고 하면, 이고, 임의의 에 대해 각각 이다. 의 전개에서, 외의 남은 항 또는 를 만족하므로(그렇지 않으면 이어서 모순이다), 모두 이다. 도 성립함에 따라 이다. 따라서 또는 이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, 는 원시다항식이다.

또한, 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이 역시 가우스 보조정리라고 한다.

  • 에서 기약 다항식이다.
  • 에서 기약 다항식이다.

기약성 판정법[편집]

다항식의 기약성의 판정법에는 유리근 정리아이젠슈타인 판정법이 있다.

[편집]

모든 1차 다항식은 기약 다항식이다.

외부 링크[편집]