절댓값

이 문서는 실수와 복소수의 표준적인 절댓값에 관한 것입니다. 추상대수학과 대수적 수론에서의 개념에 대해서는 절댓값 (대수학) 문서를 참고하십시오.

수학에서 절댓값(絶對-, 영어: absolute value)이란, 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 $|a|$로 나타낸다.

절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.

그리고 복소수, 사원수, 벡터 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.

실수

절댓값 함수

어떠한 실수 a의 절댓값은 $|a|\,$로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

$|a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}$

정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 0 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 0이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

$|a|\geq 0$

$|a|=0\iff a=0$

$|ab|=|a|\cdot |b|\,$

$|a+b|\leq |a|+|b|$

$|-a|=|a|\,$ (대칭성)

$|a-b|=0\iff a=b$

$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$ (삼각부등식)

$\left|{a \over b}\right|={|a| \over |b|}{\mbox{ (if }}b\neq 0)\,$

$|a-b|\geq |a|-|b|$

$(|a|)^{2}=(|a|)^{2},(|-a|)^{2}=\left({\sqrt {a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}\;(\because |a|={\sqrt {a^{2}}}\;,\;|-a|=|a|\,)$

$|a^{2}|={\sqrt {\left(a^{2}\right)^{2}}}$

또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or }}b\leq a$

이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.

$|x-3|\leq 9$

$\iff -9\leq x-3\leq 9$

$\iff -6\leq x\leq 12$

복소수

복소수중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

를 이용할 수 있다.

임의의 복소수

$z=x+yi\,$

에 대해, 절댓값 $|z|,$는 다음과 같이 정의된다.

$|z|:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.

$|x+i0|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}=|x|.$

이때 피타고라스의 정리에 따라 절댓값은 원점과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다.

참고 문헌

• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
• O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Jean Robert Argand”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교. 
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8