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2016년 4월 13일 (수) 19:35 판

포물선(抛物線, 문화어: 팔매선, 영어: parabola)은 평면에서 어떤 점 $F$ 와 $F$ 를 지나지 않는 직선 $l\,$ 이 주어졌을 때, $F$ 에 이르는 거리와 $l\,$ 에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다. 이때 $F$ 를 초점(焦點, focus), $l\,$ 을 준선(準線, directrix)이라고 한다. 포물선은 준선에 수직이고 초점을 지나는 직선에 대해 대칭인데 이 직선을 포물선의 축이라고 하고, 축과 포물선의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다.^[1]

포물선은 원, 타원, 쌍곡선과 함께 원뿔 곡선으로 불린다. 이들은 모두 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 자취이기 때문이다.^[2]

역사

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제^{[주해 1]}, 즉 $x^{3}=2$ 의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 오른쪽의 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.^[3]^{[주해 2]}

원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.^[2]

17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, 뉴튼 역학의 등가속도운동의 계산^[4]이나 반사망원경과 같은 광학 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.

포물선의 방정식

준선이 x축에 수직인 포물선

초점 $F$ 를 $F(p,0)$ , 준선 $l$ 을 $x=-p$ 라 하면 포물선의 방정식은

y^{2}=4px

로 준선이 x축에 수직인 포물선이 된다.

이를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행 이동하면

(y\,-n)^{2}=4p\,(x\,-m)

이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되어, 초점은 $(p+m,n)$ , 준선은 $x=-p+m$ 이 된다.

표준형 : $(y-n)^{2}=4p(x-m)$
일반형 : $y^{2}+Ay+Bx+C=0$ (단, $B$ ≠ 0)
초점 : $(p+m,n)$ ,
준선 : $x=-p+m$

준선이 y축에 수직인 포물선

초점 $F$ 를 $F(0,p)$ , 준선 $l$ 을 $y=-p$ 라 하면 포물선의 방정식은 $x^{2}=4py$ 로 준선이 y축에 수직인 포물선이 된다. 이를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동하면

(x\,-m)^{2}=4p\,(y\,-n)

이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되어, 초점은 $(m,p+n)$ , 준선은 $y=-p+n$ 이 된다.

표준형 : $(x-m)^{2}=4p(y-n)$
일반형 : $x^{2}+Ax+By+C=0$ (단, $B$ ≠ 0)
초점 : $(m,p+n)$
준선 : $y=-p+n$

접선의 방정식

기울기가 주어졌을 경우

기울기가 $k\,$ 로 주어졌을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

$(y-n)^{2}=4p(x-m)$ 일 때

$(y\,-n)=k(x-m)+{\frac {p}{k}}$

$(x-m)^{2}=4p(y-n)$ 일 때

$(y\,-n)=k(x\,-m)-k^{2}p$

접점이 주어졌을 경우

포물선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서 접선을 그었을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

$(y-n)^{2}=4p(x-m)$ 일 때

$(y_{1}-n\,)(y-n)=2p\left\{(x-m)+(x_{1}-m)\right\}$

$(x-m)^{2}=4p(y-n)$ 일 때

$(x_{1}-m\,)(x-m)=2p\left\{(y-n)+(y_{1}-n)\right\}$

포물선의 극방정식

극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.

r={\ell  \over {1+cos\theta }}

성질

원뿔 곡선이다.
준선이 좌표축과 평행한 포물선은 이차곡선이다.
$y={\frac {1}{2}}kx^{2}$ 의 포물선의 꼭짓점의 곡률 은 $k$ 이고 곡률 반지름은 ${\frac {1}{k}}$ 이다.
준선위의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선은 서로 수직이다.
축과 평행한 빛이 포물선에 반사되면 초점을 향한다. 마찬가지로 초점에서 나온 빛이 포물선에 반사되면 광축과 평행하게 나아간다.
초점을 지나고 준선에 평행한 직선이 포물선에 의해 잘리는 선분의 길이는 꼭짓점과 초점을 잇는 선분의 길이의 4배이다.

응용

뉴턴 역학에서, 포물선은 균등한 중력장 속에서 물체를 던졌을 때, 공기 저항을 무시했을 때 물체가 그리는 궤적이다.

주해

↑ 정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 미노스의 묘비에 얽힌 전설, 아폴로의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 95-96쪽
↑ 메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 오마르 하이얌이 포물선과 원을 이용하여 $x^{3}+ax=b$ 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 88-89쪽

각주

↑ 정달영 외, 《쉬운 미분적분학》, 숭실대학교출판부, 2009년, ISBN 978-89-7450-235-5, 82쪽
↑ ^가 ^나 Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽
↑ 토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, ISBN 978-89-9176-244-2, 366쪽
↑ 오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, ISBN 978-89-5624-190-6, 137-138쪽

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포물선

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[3] 정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 미노스의 묘비에 얽힌 전설, 아폴로의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 95-96쪽

[5] 메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 오마르 하이얌이 포물선과 원을 이용하여 $x^{3}+ax=b$ 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 88-89쪽

[1] 정달영 외, 《쉬운 미분적분학》, 숭실대학교출판부, 2009년, ISBN 978-89-7450-235-5, 82쪽

[EVE156-2] 가 ^나 Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽

[4] 토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, ISBN 978-89-9176-244-2, 366쪽

[6] 오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, ISBN 978-89-5624-190-6, 137-138쪽

[1]

[2]

[주해 1]

[3]

[주해 2]

[4]

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 '''포물선'''(抛物線, {{문화어|팔매선}}, {{llang|en|parabola}})은 평면에서 어떤 [[점 (기하)|점]] <math>F</math>와 <math>F</math>를 지나지 않는 [[직선]] <math>l\,</math>이 주어졌을 때, <math>F</math>에 이르는 거리와 <math>l\,</math>에 이르는 [[거리]]가 같은 점들의 자취이다. 이때 <math>F</math>를 [[초점 (기하학)|초점]](焦點, focus), <math>l\,</math>을 [[준선]](準線, directrix)이라고 한다. 포물선은 준선에 수직이고 초점을 지나는 직선에 대해 [[선대칭|대칭]]인데 이 직선을 포물선의 축이라고 하고, 축과 포물선의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다.<ref>정달영 외, 《쉬운 미분적분학》, 숭실대학교출판부, 2009년, ISBN 978-89-7450-235-5, 82쪽</ref>
-포물선은 [[원 (기하)|원]], [[타원]], [[쌍곡선]]과 함께 [[원뿔 곡선]]으로 불린다. 이들은 모두 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 자취이기 때문이다.<ref>Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽</ref>
+포물선은 [[원 (기하)|원]], [[타원]], [[쌍곡선]]과 함께 [[원뿔 곡선]]으로 불린다. 이들은 모두 [[원뿔]]을 [[평면]]으로 자를 때 생기는 자취이기 때문이다.<ref name="EVE156">Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽</ref>
+== 역사 ==
+{{참조|원뿔 곡선}}
+[[파일:Conic sections 2n.png|thumb|300px|마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.]]
+[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 오른쪽의 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, ISBN 978-89-9176-244-2, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 88-89쪽</ref>
+원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 [[페르게의 아폴로니오스]]로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.<ref name="EVE156" />
+세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[뉴튼 역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, ISBN 978-89-5624-190-6, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.
 == 포물선의 방정식 ==
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 [[뉴턴 역학]]에서, 포물선은 균등한 [[중력장]] 속에서 물체를 던졌을 때, 공기 저항을 무시했을 때 물체가 그리는 궤적이다.
-==각주==
+== 주해 ==
+<references group="주해" />
+== 각주 ==
 {{각주}}