군 코호몰로지

추상대수학에서, 군 코호몰로지(group cohomology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지이다.

정의

$G$가 군이고 $M$이 $G$-가군($G$가 작용하는 아벨 군)이라고 하자. 양의 정수 $n$에 대하여, $n$차 공사슬(cochain)을 $G^{n}\to M$ 함수로 정의하고, $n$차 공사슬의 집합을 $C^{n}(G,M)$으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 $G^{n}$은 $G\times G\times \dotsb \times G$이다.)

공경계 준동형사상(coboundary homomorphism) $d^{n}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)$를 다음과 같이 정의하자.

$\left(d^{n}\varphi \right)(g_{0},\dots ,g_{n})=g_{0}\cdot \varphi (g_{1},\dots ,g_{n})$

${}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi (g_{0},\dots ,g_{i-2},g_{i-1}g_{i},g_{i+1},\dots ,g_{n})$

${}+(-1)^{n+1}\varphi (g_{0},\dots ,g_{n-1})$

이렇게 정의하면

$d^{n+1}\circ d^{n}=0$

임을 알 수 있다. 따라서 $C^{n}$은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

$H^{n}=\ker d^{n}/\operatorname {im} d^{n-1}$

과 같이 코호몰로지 군 $H^{n}(G,M)$을 정의할 수 있다. 이를 $M$계수를 가진 $G$의 군 코호몰로지라고 한다.

유도 함자의 개념을 사용하면 군 코호몰로지를 보다 더 간단하게 정의할 수 있다. 이 경우 $H^{n}$은 $H^{0}$의 유도 함자들이다.

성질

0차 군 코호몰로지 $H^{0}(G,M)$은 $G$의 작용에 대하여 불변인 원소들의 군이다. 즉

$H^{0}(G,M)=\{m\in M|gm=m\forall g\in G\}$

이다. 이는 $M^{G}$라고도 쓴다.

$M$ 위의 $G$의 작용이 이 자명하다고 가정하자. 그렇다면 낮은 차수의 군 코호몰로지는 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 0차 군 코호몰로지 $H^{0}(G;M)$는 $M$이다.

$H^{0}(G;M)\cong M$

• 1차 군 코호몰로지 $H^{1}(G;M)$는 $M$으로의 군 준동형사상들을 분류한다.

$H^{1}(G;M)\cong \hom(G,M)$

• 2차 군 코호몰로지 $H^{1}(G;M)$는 $G$의 $M$에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계

군 코호몰로지는 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류공간의 위상수학적 코호몰로지(특이 코호몰로지 등)와 동형이다. 즉,

$H^{k}(G;M)=H_{\text{sing}}^{k}(BG;M)$

이다.

참고 문헌

• Adem, Alejandro; R. James Milgram (2004). 《Cohomology of Finite Groups》 (영어). Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 309 2판. Springer. ISBN 3-540-20283-8. MR 2035696. Zbl 1061.20044. 
• Brown, Kenneth S. (1982). 《Cohomology of Groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 87. Springer. ISBN 0-387-90688-6. MR 0672956. Zbl 0584.20036. 
• Rotman, Joseph (1995). 《An Introduction to the Theory of Groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 148 4판. Springer. ISBN 978-0-387-94285-8. MR 1307623. Zbl 0810.20001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Isaksen, Daniel C. (2002년 11월). “A cohomological viewpoint on elementary school arithmetic” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 109 (9): 796–805. doi:10.2307/3072368. ISSN 0002-9890. JSTOR 3072368. Zbl 1026.20029. 

바깥 고리

• Sharifi, Romyar. “An introduction to group cohomology” (PDF). 
• Milne, J. S. (2013년 3월 23일). 《Class field theory》 (PDF) 버전 4.02판.