피카르-렙셰츠 이론

미분위상수학과 대수기하학에서, 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다.

피카르-렙셰츠 공식

복소 $k$차원 연결 복소다양체 $M$ 위에 정칙함수 $f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}$가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점은 $\partial f(p_{i})=0$인 점 $p_{i}\in M$들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 상 $z_{i}=f(p_{i})$들이 서로 다르다고 하자.

일반적으로, 모든 $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\}$에 대하여 $M_{z}=f^{-1}(z)$는 위상동형이다. $z\to z_{i}$인 극한을 취하면, $M_{z}$의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 $(k-1)$차 호몰로지류 $\delta _{i}\in H_{k-1}(M_{z})$임을 보일 수 있다. ($M_{z}$는 실수 $2(k-1)$차원이다.) $z$를 $z_{i}$ 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는 $H_{k-1}(M_{z})$에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군 $\pi _{1}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\};z)$의 $H_{k-1}(M_{z})$에 대한 작용으로 나타내어진다.

피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. $w_{i}\in \pi _{1}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{z_{i}\};z)$가 $z_{i}$를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,

$w_{i}\colon \gamma \mapsto \gamma +(-1)^{k(k+1)/2}(\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle )\delta _{i}$

이다. 여기서

$\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle =[M_{z}]\smile (\gamma \frown \delta _{i})$

이다.

역사

에밀 피카르와 솔로몬 렙셰츠의 이름을 땄다. 에밀 피카르와 조르주 시마르(프랑스어: Georges Simart)는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고, 솔로몬 렙셰츠가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다.

참고 문헌

• Vassiliev, V. A. (2002). 《Applied Picard-Lefschetz Theory》. AMS Mathematical Surveys and Monographs 97. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2948-6. Zbl 1039.32039. 
• Nicolaescu, Liviu (2011). 《An Invitation to Morse Theory》. Universitext 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1105-5. ISBN 978-1-4614-1104-8. ISSN 0172-5939. MR 2883440. Zbl 1238.57001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Deligne, P.; N. M. Katz (1973). 《Groupes de monodromie en géométrie algébrique》. Lecture Notes in Mathematics 340. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 7 II. Springer. doi:10.1007/BFb0060505. ISBN 978-3-540-06433-6. Zbl 0258.00005. 
• Lamotke, Klaus (1981). “The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz”. 《Topology》 20 (1): 15–51. doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6. ISSN 0040-9383. MR 592569. Zbl 0445.14010. 

바깥 고리

• Fisher, Jonathan (2010년 4월 22일). “Complex Morse theory” (PDF). 
• Evans, Jonny (2012년 4월 17일). “Symplectic Picard–Lefshetz theory” (PDF). 
• Berczi, Gergely (2010). “Lectures on singularities of maps” (PDF).