하이젠베르크 군

수학에서, 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의

심플렉틱 벡터공간 $(V,\omega )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 집합 $V\times \mathbb {R}$에 다음과 같은 군 연산을 주자.

$(\mathbf {u} ,s)\cdot (\mathbf {v} ,t)=(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,s+t+\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )/2)$

이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 $H(V)$라고 한다. 이는 (아벨 군으로서의) $V$의 중심확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \mathbb {R} \xrightarrow {t\mapsto (\mathbf {0} ,t)} H(V)\xrightarrow {(\mathbf {v} ,t)\mapsto \mathbf {v} } V\to 0$

만약 $V$가 유한차원이라면, 하이젠베르크 군 $H(V)$를 행렬군으로 나타낼 수 있다. $\dim V=2n$이고, 또한

$(p,q),(p',q')\in V$

$\omega \colon (p,q)=pq'-p'q$

라고 하자. 그렇다면 $H(V)$를 다음과 같은 꼴의 행렬들의 군으로 생각할 수 있다.

${\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}}\in H(\mathbb {R} ^{2n})=H_{2n+1}(\mathbb {R} )\subset \operatorname {GL} (2n+1;\mathbb {R} )$

보통 $V$가 명시되어 있지 않은 경우, $n=1$인 경우에 해당한다. 즉, $H_{3}(\mathbb {R} )\subset \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )$를 의미한다.

리 대수

하이젠베르크 군 $H_{2n+1}$의 리 대수 ${\mathfrak {h}}_{2n+1}$는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

${\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {h}}_{2n+1}$

이 경우, 행렬 지수 함수는 다음과 같다.

$\exp {\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )/2\\0&I_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}$

${\mathfrak {h}}_{2n+1}$에 다음과 같은 기저를 잡자.

$P_{i}={\begin{pmatrix}0&e_{i}^{\top }&0\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

$Q_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0_{n\times n}&e_{i}\\0&0&0\end{pmatrix}}$

$C={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

그렇다면 ${\mathfrak {h}}_{2n+1}$의 리 괄호는 다음과 같다.

$[P_{i},Q_{i}]=\delta _{ij}C$

$[P_{i},C]=[Q_{i},C]=0$

표현론

하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 $H_{2n+1}$의 비자명 유니터리 기약표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ 위의 다음과 같은 표현 $\rho _{\hbar }$와 동형이다.

$\rho _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon \psi (x)\mapsto \exp(i(qx+\hbar (t+pq)/2))\psi (x+\hbar p)$

이를 리 대수 ${\mathfrak {h}}_{2n+1}$에 대하여 표기하면 다음과 같다.

$P_{i}\psi (x)=\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi (x)$

$Q_{i}\psi (x)=ix_{i}\psi (x)$

$C\psi (x)=i\hbar \psi (x)$

참고 문헌

• Binz, Ernst; Sonja Pods (2008). 《Geometry of Heisenberg groups》. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3. 
• Thangavelu, Sundaram (1998). 《Harmonic analysis on the Heisenberg group》. Progress in Mathematics 159. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4612-1772-5. ISBN 978-1-4612-7275-5. 
• Howe, Roger Evans (1980). “On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 3 (2): 821. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9. ISSN 0273-0979. MR 578375. Zbl 0442.43002. 

바깥 고리

• “하이젠베르크 군과 대수”.