모듈러 곡선: 두 판 사이의 차이
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* {{책 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어고리=en}} |
* {{책 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어고리=en}} |
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2013년 12월 19일 (목) 08:41 판
수론과 대수기하학에서, 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.
정의
모듈러 군 의 부분군 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 에 대하여 라면, 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 을 합동 부분군 의 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.
Γ(1)은 저연스럽게 상반평면 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.
콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)
을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선 이라고 한다.
대표적인 합동 부분군 &Gamma0(N), &Gamma1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.
성질
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 예를 들어, 는 경우 j-불변량에 의하여 그 리만 곡면은 리만 구면과 동형이다.
일반적으로, 의 종수(genus)는 다음과 같다.
여기서
- 는 부분군의 지표다.
- 는 의 타원점(elliptic point)들 가운데, 계수(order)가 2인 타원점들의 수이다.
- 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
- 는 의 첨점들의 수이다.
예를 들어, 의 경우,
- 계수가 2인 타원점 1개 ()
- 계수가 3인 타원점 1개 ()
- 첨점 1개 ()
를 가진다. 따라서
이다.
Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
여기서 는 오일러 함수이고, 는 르장드르 기호이다. 는 가 의 인수라는 뜻이다. 는 가 의 소인수라는 뜻이다.
참고 문헌
- Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.