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함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math>라 하면 다음 식을 통해 <math>F(s)</math>로부터 <math>f(t)</math>를 구할 수 있다. |
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함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math>라 하면 다음 식을 통해 <math>F(s)</math>로부터 <math>f(t)</math>를 구할 수 있다. |
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:<math> |
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:<math> |
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f(t) = \frac1{2\pi j}\int_{a-j\infty}^{a+j\infty}F(s)\exp[st]\,ds,\quad j = \sqrt{-1}. |
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f(t) = \frac1{2\pi j}\int_{a-j\infty}^{a+j\infty}F(s)e^{st}\,ds,\quad j = \sqrt{-1}. |
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</math> |
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하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어 |
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하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어 |
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f(t) |
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f(t) |
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&= \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 2}\right\} \\ |
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&= \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 2}\right\} \\ |
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&= \exp[-t] - \exp[-2t], \quad t \ge 0. |
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&= e^{-t} - e^{-2t}, \quad t \ge 0. |
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\end{align} |
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\end{align} |
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</math> |
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</math> |
라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.
라플라스 변환을 이용하면, 어려운 식들을 쉽게 변환하여 풀 수 있으며, 문제들을 직접적으로 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.
정의
함수 의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 로 정의된다.
여기서 는 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 , σ와 ω는 실수이다.
실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 로 표기하기도 한다.
성질
t shifting
참고: 는 층계 함수이다.
주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환
역변환
함수 의 라플라스 변환을 라 하면 다음 식을 통해 로부터 를 구할 수 있다.
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어
로 가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해
를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 는 다음과 같다.
미분방정식의 풀이
상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식
다음과 같은 차 연립 상미분 방정식을 고려하자
양변에 라플라스 변환을 취하면
이고 이를 에 관해 정리하면
이다. 따라서, 는 다음과 같다.
같이 보기