선형대수학에서 텐서 대수(tensor代數, 영어: tensor algebra)는 어떤 벡터 공간 또는 가군 위의 원소들로부터 생성되는 비가환 다항식들로 구성되는 등급 단위 결합 대수이다.
가환환
위의 가군
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위의 텐서 대수
는 다음과 같은
위의 등급 가군이다.
![{\displaystyle \operatorname {T} (V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\overbrace {V\otimes _{K}V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V} ^{n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d855d02212d80d716bb329cb938be1fb9d8cf5d)
![{\displaystyle \operatorname {T} ^{n}(V)=\overbrace {V\otimes _{K}V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4897d24c30a2f6008a2d6a79749dea454cedcf)
이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 이항 연산이 존재한다.
![{\displaystyle \otimes \colon \operatorname {T} ^{m}(V)\times \operatorname {T} ^{n}(V)\to \operatorname {T} ^{m+n}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac68705d11d81a03b1394047bbf5b1523c8a31c)
![{\displaystyle \otimes \colon \left((u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{m}),(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})\right)\mapsto u_{1}\otimes \cdots u_{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\in \operatorname {T} ^{m+n}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc7b2fe3653abc25a38b5812c88b4141c7c50b2)
이는 결합 법칙을 만족시키고, 또 항등원
을 갖는다. 따라서, 텐서 대수는
위의 단위 결합 대수를 이룬다.
호프 대수 구조[편집]
텐서 대수
위에는 다음과 같이 호프 대수의 구조가 존재한다. 여기서
는 쌍대곱,
는 앤티포드이다.
![{\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,m-p)}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (m)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f651b980a6a37a28857b7e2ad9e5f172202fb70e)
![{\displaystyle S(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m})=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bb8b40463048892f27a52e37b82fa119efda6f)
여기서
는
-셔플 순열의 집합이다.
비가환 다항식 대수[편집]
집합
에 의하여 생성되는, 가환환
위의 자유 단위 결합 대수는 자유 가군
위의 텐서 대수와 같으며, 비가환 다항식 대수(영어: noncommutative polynomial algebra)라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.
![{\displaystyle K\langle x_{i}\rangle _{i\in I}=\operatorname {T} (K^{\oplus |I|})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4748be84698c8598ab40171ff95d377e4c8ed2b)
비가환 다항식 대수의 원소들은 다항식환 (자유 가환 단위 결합 대수)
과 유사하지만,
라면
이다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]