리만 기하학과 일반 상대성 이론에서 점근적 평탄 다양체(漸近的平坦多樣體, 영어: asymptotically flat manifold)는 어떤 콤팩트 집합("중심")을 제외하면, 유클리드 공간에 점근적으로 근접하는 리만 계량을 갖는 조각들("끝")로 구성된 리만 다양체이다.
차원 리만 다양체
가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수
가 주어졌다고 하자.
의 점근적 평탄 끝(영어: asymptotically flat end)
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
의
차원 부분 다양체 ![{\displaystyle \Sigma \subseteq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12893c05a52c637b57eda37a0c5f4e4af86497ac)
- 미분 동형 사상
![{\displaystyle \iota _{\Sigma }\colon \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x\|>1\}\to \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c184d7497047fd3f28e7ee1d30fee13cd802a0)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{l}}{\partial x^{i_{1}}\partial x^{i_{2}}\cdots \partial x^{i_{l}}}}\left(\iota _{\Sigma }^{*}g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)-\delta _{ij}\right)\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76b12f6e3ef844f2586bcd1d4efb1434b90f1d8)
여기서
![{\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b23c7bd7ab4169be908932d970d7e0033b35f14)
이다. 위 조건을 지표 표기법으로 줄여 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle \partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{l}}(g_{ij}-\delta _{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accda0e21e1c912ae7b1835f53322806bcdcaf66)
차원 리만 다양체
와 그 유한 개의 점근적 평탄 끝
이 주어졌으며, 만약
![{\displaystyle M\setminus (\Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}\cup \cdots \Sigma _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861ac98b009c500b6cb7799b0aa35e8736fef961)
이 콤팩트 공간이라면,
을 점근적 평탄 다양체(영어: asymptotically flat manifold)라고 한다. 이 경우, 위의
의 최솟값을
의 끝의 수(영어: number of ends)라고 한다.
로런츠 다양체의 경우[편집]
위 조건은 리만 다양체를 마치 공간처럼 여겨 정의한 개념이다. 마찬가지로, 로런츠 다양체를 시공간으로 여겨 비슷한 조건을 정의할 수 있다.
로런츠 다양체
가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수
가 주어졌다고 하자.
의 점근적 평탄 끝(영어: asymptotically flat end)
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]:§3.6
의
차원 공간형 부분 다양체
(즉,
는 리만 계량을 이룬다)
- 미분 동형 사상
![{\displaystyle \iota _{\Sigma }\colon \{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x\|>1\}\to \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c184d7497047fd3f28e7ee1d30fee13cd802a0)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle \partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{l}}(g_{ij}-\delta _{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accda0e21e1c912ae7b1835f53322806bcdcaf66)
![{\displaystyle \partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{l}}(\operatorname {II} _{ij}-\delta _{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\qquad \forall l\in \{0,1,2\},\;\forall i_{1},i_{2},\dots ,i_{l},i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebd9f4df3dfd8139b0859981255f158b7052129)
여기서
![{\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b23c7bd7ab4169be908932d970d7e0033b35f14)
이며,
는
의 제2 기본 형식이다. (이는
의 단면인데, 법다발
은
의 로런츠 계량
로 인하여 표준적으로 단위 벡터 단면을 잡을 수 있다.)
진공 아인슈타인 방정식의 해의 경우,
이라면 항상
로 잡을 수 있다.[1]:(3.26), §3.7
콤팩트 리만 다양체는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 유클리드 공간은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.
원점을 제외한 유클리드 공간
위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=r^{-2}\,\mathrm {d} r^{2}+(\ln(r+1/r))^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838484497be607c81c7dda16e17fd9f160a5065f)
좌표 변환
![{\displaystyle r=\exp t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed01fb7b8dfed753f0dc5531c6f4e0154cf0dcd5)
를 가하면 이는
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} t^{2}+(\ln(2\cosh(t))^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e30fffdd79eb8a272a58e2c226cdee7967e7e3e)
가 되므로, 이는
에서
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\approx \mathrm {d} t^{2}+|t|^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8673be588961fceed83840f00f5649c8bda47b)
이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.
4차원 이상의 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 (질량 중심 틀에서
조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다.
같이 보기[편집]