대수학에서, 유리근 정리(有理根定理, 영어: rational root theorem)는 정수 계수 다항식이 주어진 유리수를 근으로 할 필요 조건을 제시하는 정리이다.
유일 인수 분해 정역
의 다항식환을
라고 하고, 분수체를
라고 하자. 다항식
![{\displaystyle p(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots r_{1}x+r_{0}\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fa76a48442b90583e1fa1a0edc83260fd56519)
가 분수체 원소
를 근으로 가지며,
이라고 하자. 유리근 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle r\mid r_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976ec8492f9fe4650f81cab89a5ec4958ab90d92)
![{\displaystyle s\mid r_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e292ed35054f2ffb03bb613334de370461cacee4)
특히, 만약
가 일계수 다항식이라면 (
이라면),
는 환의 원소이다.[1]:185, §IV.3, Proposition 3.3
가
의 근이므로,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=s^{n}0=s^{n}p\left({\frac {r}{s}}\right)&=s^{n}\left(r_{n}{\frac {r^{n}}{s^{n}}}+r_{n-1}{\frac {r^{n-1}}{s^{n-1}}}+\cdots r_{1}{\frac {r}{s}}+r_{0}\right)\\&=r_{n}r^{n}+r_{n-1}r^{n-1}s+\cdots +r_{1}rs^{n-1}+r_{0}s^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2503625e4f6b929baff9f63779cb3c6f083f26)
이다. 따라서
![{\displaystyle r\mid -r_{n}r^{n}-r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}=r_{0}s^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c13aa89adabe2902886e130bcd875c45820e1f9)
![{\displaystyle s\mid -r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}-r_{0}s^{n}=r_{n}r^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44801fcab2746d341a25b05c0b03006a06743198)
이다. 또한,
이므로,
![{\displaystyle r\mid r_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976ec8492f9fe4650f81cab89a5ec4958ab90d92)
![{\displaystyle s\mid r_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e292ed35054f2ffb03bb613334de370461cacee4)
이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]