심플렉틱 행렬

수학에서 심플렉틱 행렬(symplectic行列, 영어: symplectic matrix) 또는 사교행렬(斜交行列)은 특정한 성질을 만족시키는 2n×2n 정사각행렬이다. 심플렉틱 행렬들은 (콤팩트하지 않은) 리 군인 심플렉틱 군 Sp(2n,ℝ)을 이룬다.

정의

2n×2n차 (실수) 심플렉틱 행렬은 다음을 만족하는 2n×2n 정사각행렬 $M$ 이다.

M^{\top }\Omega M=\Omega

여기서 $\Omega$ 는 다음과 같다.

\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}

여기서 $I_{n}$ 은 n×n 단위행렬이고, $\det \Omega =1$ , $\Omega ^{-1}=\Omega ^{\top }=-\Omega$ 을 만족한다.

성질

$\det \Omega =1$ 이므로, 심플렉틱 행렬의 행렬식은 항상 1이다. 심플렉틱 행렬의 역행렬은 다음과 같다.

M^{-1}=-\Omega M^{\top }\Omega

.

심플렉틱 행렬들은 행렬곱과 역행렬에 대하여 닫혀 있어, 실수 리 군 Sp(2n,ℝ)을 이룬다. 이는 복소 단순 리 군 Sp(2n,ℂ)의 콤팩트하지 않은 실수 형태이며, 심플렉틱 군으로 불린다. (다만, 콤팩트 실수 형태도 "심플렉틱 군"으로 불리나, 엄밀히 말하면 다른 군이다.)

심플렉틱 행렬의 로그는 해밀턴 행렬(영어: Hamiltonian matrix)이다.

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