슈바르츠실트 반지름

슈바르츠실트 반지름(영어: Schwarzschild radius)은 블랙홀이 되기 위한 어떤 물체의 반지름 한계점이다.

물체가 충분한 질량을 가지게 되어 특정 밀도에 가까워지면 물체의 중력이 매우 커지게 된다. 축퇴압(degeneracy pressure)이 물체의 밀도가 무한히 증가하고 그 부피가 줄어드는 것을 막게 되는데, 물체의 질량이 한계점을 넘어 축퇴압이 견딜 수 없을 정도로 강한 중력을 갖게 되어 그 물체의 크기가 슈바르츠실트 반지름보다 작아지면 블랙홀이 된다. 슈바르츠실트 반지름에 도달했을 때의 표면은 회전하지 않는 물체의 사건 지평선과 같이 작용한다. 어떠한 빛이나 입자도 이 표면에 해당하는 영역에서 벗어날 수 없으므로 블랙홀이라 부른다.

현재 은하 중심부에 존재한다고 추측하는 초대질량 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름은 대략 780만km정도이다.

역사

1916년에, 카를 슈바르츠실트는 오늘날 슈바르츠실트 계량이라고 불리는, 중력장 밖에서 회전하지 않는 구체모양의 물체에 대한 아인슈타인 방정식의 해를 발견하였다. 이 때, $M={\frac {Gm}{c^{2}}}$라는 식을 사용하게 되는데, 그 해에는 ${\frac {1}{2M-r}}$와 같은 형태의 항이 들어 있다. 이 식은 r = 2M 일 때 미분가능하지 않으므로, 이 값을 슈바르츠실트 반지름이라고 하였다.

이 값이 어떤 의미를 갖는지에 대해 오랜 시간 동안 논쟁거리가 되었다. 자크 아다마르는 1922년에 파리에서의 회의기간 동안 물리계에서 블랙홀이 일어날 수 있다고 주장하였다. 알베르트 아인슈타인은 우주에 대한 이 끔찍한 결과들을 지적하며 블랙홀은 일어날 수 없다고 주장하였으며, 농담으로 이를 “아다마르 재앙”이라 불렀다. 적어도 1960년경까지는 대부분의 사람들은 블랙홀이 존재하지 않을 것이라고 보았다. 태양의 슈바르츠실트 반지름은 대략 3km, 지구는 땅콩 크기 정도인 9 mm에 불과하다. 이는, 태양의(혹은 지구의) 질량의 총합이 3km(지구의 경우는 9mm)안에 들어간다는 뜻이다. 그렇게 되면 태양의(혹은 지구의) 부피는 중력에 의해 계속해서 수축하는 기현상이 발생한다.

슈바르츠실트의 별에 대한 기존의 모델은 압축할 수 없는 유동체로 가정하였다. 알베르트 아인슈타인은 음파가 엄청난 속도로 전파될 수 있기 때문에, 이 가정이 말이 되지 않는다고 지적했다. 그의 저서에서, 아인슈타인은 어떤 물체를 도는 별을 모형으로 다시 생각했을 때, 슈바르츠실트 반지름 내에서의 궤도 진입 최소 속도(orbital velocity)는 빛의 속도를 넘어설 수 있다는 것을 보였다. 1939년에 그는 이 사실을 바탕으로 그러한 속도를 내는 물체는 없다고 주장하였고 블랙홀은 실제로 일어날 수 없다고 주장하였다. 같은 해, 로버트 오펜하이머와 하틀랜드 스나이더(Hartland Snyder)는 한 점을 향해 방사상으로 움직이는 먼지 입자들의 구름인 티끌구름(dust cloud)을 모델로 설정했다. 그리고 나서, 이 두 사람은 티끌구름이 제한된 적절한 시간 안에 블랙홀에 도달할 수 있음을 보였다. 이 도달점을 지나자, 오펜하이머와 스나이더는 광원뿔(light cone)은 안쪽을 향했으며 어떠한 신호도 밖으로 빠져나갈 수 없었다고 기록했다.

슈바르츠실트 반지름에 대한 공식

슈바르츠실트 반지름은 물체의 질량에 비례하는데, 이는 중력상수와 빛의 속도를 포함하는 비례상수값을 가진다.

$r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}},$ $r_{s}\!$=슈바르츠실트 반지름, $G$=중력 상수, $m$=물체의 질량, $c$=진공상태에서의 빛의 속도

비례상수 $2G/c^{2}$은 대략 1.48×10^-27 m/kg^? 혹은2.95 km/M_☉이다.

어떤 밀도를 가지는 물체는 슈바르츠실트 반지름에 포함될 수 있을 정도로 클 수 있다.

$V_{s}\propto \rho ^{-3/2},$

$V_{s}\!$=물체의 부피, $\rho \!$=물체의 밀도

슈바르츠실트 반지름에 의한 블랙홀 분류

초대질량 블랙홀

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만약 어떤 물체가 일반적인 밀도로 태양 질량의 1억 5천만배로 축적되어 그 태양질량의 1억 5천만배나 되는 축적물이 슈바르츠실트 반지름 안으로 들어오게 된다면, 이를 초대질량 블랙홀(supermassive black hole)이라고 한다. 3백 7십만M_☉정도의 크기를 가진 우리 은하의 중앙에 있는 초대질량 블랙홀은 블랙홀의 존재에 대해 신빙성 있는 관측에 의한 증거 중의 하나이다. 이와 같은 커다란 블랙홀들은 별 크기의 블랙홀에서 시작하여 다른 블랙홀들과 물질들의 증량에 의해 점점 커진다. 실험에 의해 밝혀진 초대질량 블랙홀의 크기와 은하 팽대부(bulge)의 별의 분산속도(stellar velocity dispersion)인 σ 사이의 관계는 M-sigma relation이라 불린다. 현재 그 크기가 180억M_☉에 달하는 초대질량 블랙홀까지 관측되었다.

항성 블랙홀

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만약 핵의 밀도(원자의 핵의 밀도, 약 10^18kg/m³; 중성자별 역시 이 밀도이다.)에서 물질이 약 3M_☉의 질량으로 슈바르츠실트 반지름 내에서 축적된다면 이를 항성 블랙홀(stellar black hole)이라고 한다.

원시 블랙홀

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작은 물체는 슈바르츠실트 반지름이 극단적으로 작다. 에베레스트 산과 비슷한 크기의 물체의 슈바르츠실트 반지름은 나노미터보다 작다. 평균 밀도가 아무도 그 매카니즘을 모를 만큼 높을 때 매우 빽빽한 물질을 형성한다. 이러한 블랙홀은 빅뱅이 끝난 직후, 밀도가 극단적으로 높을 때인 우주의 진화 초기 단계에서 형성이 가능했을 것이다. 그러므로 이러한 가설에 의한 작은 블랙홀들을 원시 블랙홀(primordial black holes)이라 칭한다.

슈바르츠실트 반지름의 다른 쓰임

지구에서의 슈바르츠실트 반지름

지구를 슈바르츠실트 반지름 미만으로 압축시키면 반지름 0.88cm이다. 이는 파리, 작은 견과류 등과 같은 크기이다.

중력에 의한 시간 늘어남 현상에서의 슈바르츠실트 반지름

중력에 의한 시간 늘어남 현상에서 지구나 태양같이 크고, 구형이며, 느리게 회전하는 물체는 아래와 같이 슈바르츠실트 반지름을 사용할 수 있다.

${\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}$

$t_{r}\!$=중력장 내에서 "r"만큼 방사상으로 위치하고 있는(at radial coordinate) 관측자에 대해 경과한 시간, $t\!$=거대한 물체에서 떨어진 관측자에 대해 경과한 시간 (중력장의 바깥), $r\!$=방사상(radial) 관측자의 위치(coordinate) (이는 물체의 중심으로부터의 전형적인 거리와 비슷하다.), $r_{s}\!$=슈바르츠실트 반지름

파운드(Pound)와 레브카(Rebka)의 1959년의 실험의 결과는 일반상대성이론에 의한 추측과 일치했다. 지구의 중력에 의한 시간 늘어남 현상에 의해 이 실험은 지구의 슈바르츠실트 반지름을 구했다.

뉴턴의 중력장에서의 슈바르츠실트 반지름

뉴턴의 중력장 근처의 크고 느리게 회전하며 대체로 구형인 물체는 아래와 같은 슈바르츠실트 반지름을 사용할 수 있다.

${\frac {g}{r_{s}}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

$g\!$=방사상의 위치 “r”(at radial coordinate)에서의 중력 가속도, $r_{s}\!$=강하게 끌리는 중심부의 슈바르츠실트 반지름, $r\!$=방사상의 위치(raial coordinate), $c\!$=진공에서의 빛의 속도

지구표면에서는 ${\frac {9.80665m/s^{2}}{8.870056mm}}\left({\frac {6375416m}{299792458m/s}}\right)^{2}=\left(1105.59s^{-2}\right)\left(0.0212661s\right)^{2}={\frac {1}{2}}.$

케플러 궤도에서의 슈바르츠실트 반지름

주어진 중심부의 모든 원형 궤도에 대해:

${\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

$r\!$=궤도반지름, $r_{s}\!$=중력에 끌리는 중심부의 슈바르츠실트 반지름, $v\!$=궤도의 속도, $c\!$=진공에서의 빛의 속도,

이 식을 타원궤도로 일반화하면 다음과 같다.

${\frac {a}{r_{s}}}\left({\frac {2\pi a}{cT}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

$a\!$=긴반지름(semi-major axis), $T\!$=주기

태양 주위를 공전하는 지구의 경우:

${\frac {1\,\mathrm {AU} }{2953.25\,\mathrm {m} }}\left({\frac {2\pi \,\mathrm {AU} }{\mathrm {light\,year} }}\right)^{2}=\left(50655379.7\right)\left(9.8714403\times 10^{-9}\right)={\frac {1}{2}}.$

상대성이론의 원궤도와 광자구

원궤도에 대한 케플러의 공식은 속도구간에서 시간 늘어짐 현상을 측정함으로써 원궤도에 대한 상대성이론의 공식을 일반화할 수 있다.

${\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

${\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)={\frac {1}{2}}$

$\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left({\frac {r}{r_{s}}}-1\right)={\frac {1}{2}}.$

이 최종의 공식은 빛의 속도로 공전하는 물체는 슈바르츠실트 반지름의 1.5배만큼의 궤도반지름을 가진다는 것을 의미한다. 이는 광자구(photon sphere)로 알려진 특별한 궤도로 알려져 있다.