이 문서는 수학의 생성함수(모함수)에 관한 것입니다. 일반적인 역학에서의 모함수에 대해서는
모함수 (물리학) 문서를 참고하십시오.
수학 에서 어떤 수열 a n (n은 자연수 )에 대하여,
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}
와 같이 미지수의 계수가 수열의 각 항으로 되어 있는 멱급수 형태의 함수 즉, 그 수열을 계수로 하는 멱급수 를 생성함수 (生成函數, generating function)라고 한다.
아브라암 드무아브르 가 1730년에 일반 선형 점화식 문제를 풀기 위해 도입하였다.[1] 생성함수는 여러 경우에 이용되는데 예를 들어 어떤 수열에 대한 점화식 을 이용해 일반항 을 알아낼 때에도 쓰인다.
일반 생성함수 [ 편집 ]
수열 a n 의 일반 생성함수 (ordinary generating function)는 다음과 같이 정의한다.
G
(
a
n
;
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
.
{\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}
별도의 말이 없는 경우, 보통 생성함수는 일반생성함수를 말한다.
만약 a n 이 이산 확률 변수 의 확률 질량 함수 라면 그 생성함수는 확률 생성 함수 라고 부른다.
일반생성함수는 인덱스가 여러 개인 배열로 일반화시킬 수 있다. 예를 들어, 2차원 배열 a m,n (n , m 은 자연수)의 일반생성함수는 다음과 같이 정의한다.
G
(
a
m
,
n
;
x
,
y
)
=
∑
m
,
n
=
0
∞
a
m
,
n
x
m
y
n
.
{\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}
지수 생성함수 [ 편집 ]
수열 a n 의 지수 생성함수 (exponential generating function)는 다음과 같이 정의한다.
EG
(
a
n
;
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}
푸아송 생성 함수 [ 편집 ]
수열 a n 의 푸아송 생성함수 (poisson generating function)는 다음과 같이 정의한다.
PG
(
a
n
;
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
e
−
x
x
n
n
!
=
e
−
x
EG
(
a
n
;
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).}
람베르트 급수 [ 편집 ]
수열 a n 의 람베르트 급수 (lambert series)는 다음과 같이 정의한다.
LG
(
a
n
;
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
x
n
1
−
x
n
.
{\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}
벨 급수 [ 편집 ]
수열 a n 의 벨 급수 (bell series)는 미지수 x 와 소수 p 두 가지로 표현된 급수로,[2] 다음과 같이 정의한다.
BG
p
(
a
n
;
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
p
n
x
n
.
{\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.}
같이 보기 [ 편집 ]
↑ Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 1 Fundamental Algorithms (Third Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 . Section 1.2.9: "Generating Functions".
↑ 틀:Apostol IANT pp.42–43