일반위상수학에서, 끝(영어: end)은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "연결 성분"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 콤팩트 집합을 잘라냈을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한이다.
위상 공간
이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합
를 생각하자.
이제, 임의의 콤팩트 집합
에 대하여, 그 여집합의 연결 성분들의 집합
![{\displaystyle \pi _{0}(X\setminus K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ef94d76204e9948c19f96ef5ff6f8d75cf3135)
을 생각할 수 있다. 각 포함 사상
에 대하여 자연스러운 함수
![{\displaystyle \pi _{0}(X\setminus K')\to \pi _{0}(X\setminus K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32754c38d376fe7c5bb3c749df9a92700e56bb01)
![{\displaystyle C'\mapsto C\iff C'\subseteq C\qquad \forall C\in \pi _{0}(X\setminus K),\;C'\in \pi _{0}(X\setminus K')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf3dda2e747909fbe90c0320c913eef395c026e)
가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한
![{\displaystyle \operatorname {Ends} (X)=\varprojlim _{K\in \operatorname {Comp} (X)}\pi _{0}(X\setminus K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d0da2beb5ba311b8b4ff404e335c9fd0559586)
를 취할 수 있다.
를
의 끝들의 집합이라고 한다.
위상
가 주어졌을 때, 분리합집합
에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Open} (X)\cup \left\{U\sqcup \{e\}\colon U\in \operatorname {Open} (X),\;e\in \operatorname {Ends} (X),\;\exists K\in \operatorname {Comp} (K)\colon e_{K}\subseteq U\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3268b55aecbb1f29b367601104f2135ee4bf4a)
여기서
는
의 열린집합들의 족이다.
이를
의 끝 콤팩트화(끝compact化, 영어: end compactification)라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다.
다음과 같은 두 범주를 생각하자.
은 그 대상이 위상 공간이며, 그 사상이 연속 고유 함수인 범주이다.
은 집합과 함수의 범주이다.
그렇다면, 끝 집합은 함자
![{\displaystyle \operatorname {Ends} \colon \operatorname {Top_{prop}} \to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9938886310233e755e03a4959c9ebfbffbdc06c4)
를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수
및 끝
에 대하여,
![{\displaystyle \operatorname {Ends} (f)\colon (C_{K})_{K\in \operatorname {Comp} (X)}\mapsto \left(f_{*,K'}C_{f^{-1}(K')}\right)_{K'\in \operatorname {Comp} (X')}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4f053003b77cf20d1892f9379032a396005291)
이다. 여기서
![{\displaystyle f_{*,K'}\colon \pi _{0}(X\setminus f^{-1}(K'))\to \pi _{0}(X'\setminus K')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8284a93c3f5b82ace021d5ca31c3a545722da639)
는
로 유도되는 표준적인 함수이다.
경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.[1]:Theorem 2
콤팩트 공간은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.
실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 초구이다.
콤팩트 다양체
속에 유한 개의 점
을 고르자. 그렇다면,
은
개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체
이다.
끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다.[2]