군 표현의 지표

군 표현론에서, 군 표현의 지표(指標, 영어: character 캐릭터^[*])는 공액류에 대한, 표현 행렬의 대각합인 유함수이다.

정의

$G$가 군이고, $V$가 체 $k$에 대한 벡터 공간이고, $\rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)$가 군 표현이라고 하자. $G$의 공액류의 집합을 $[G]$로 쓰자. 그렇다면 표현 $\rho$의 지표 $\chi _{\rho }\colon [G]\to k$는 다음과 같은 함수다.

$\chi _{\rho }([g])=\operatorname {tr} \rho (g)$. ($g\in G$, $[g]\in G$는 $g$의 공액류)

성질

표현 $\rho$의 차원은 $\dim \rho =\chi _{\rho }(1)$이다.

지표는 군 표현의 직합과 텐서곱을 준수한다. 즉,

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$

$\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\chi _{\sigma }$

이다.

표현의 텐서 제곱 $\rho \otimes \rho$는 다음과 같이 대칭 및 반대칭 성분으로 분해할 수 있다.

$\rho \otimes \rho =\operatorname {Sym} ^{2}(\rho )+\rho \wedge \rho$.

이 경우,

$\chi _{\rho \wedge \rho }(g)={\frac {1}{2}}\left((\chi _{\rho })^{2}(g)-\chi _{\rho }(g^{2})\right)$

$\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}\left((\chi _{\rho })^{2}(g)+\chi _{\rho }(g^{2})\right)$

이다.

복소수 벡터 공간 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.

$\chi _{\rho ^{*}}={\bar {\chi }}_{\rho }$.

여기서 $\rho ^{*}$는 복소 표현의 행렬 원소들의 (전치 없는) 복소켤레 표현이고, ${\bar {\chi }}_{\rho }$는 $\chi _{\rho }$의 복소켤레이다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 유한군의 지표론을 제창하였다. 이는 군 표현이 정의되기 이전이었고, 군 표현론의 시초로 여겨진다.

참고 문헌

• Isaacs, I.M. (1994). 《Character Theory of Finite Groups》. Dover. ISBN 0-486-68014-2. 
• James, Gordon; Martin Liebeck (2001). 《Representations and Characters of Groups》 2판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Serre, Jean-Pierre (1977). 《Linear Representations of Finite Groups》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6. 

같이 보기

• 지표표

외부 링크

• Todd Rowland, Eric Wolfgang Weisstein. “Character table”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group character”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Character of a representation of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.