미분기하학에서, 관상 주변(管狀周邊, 영어: tubular neighbo(u)rhood)은 어떤 부분 다양체의 근방과, 이 부분 다양체의 법다발 사이의 위상 동형이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
의 부분 집합
. 그 포함 사상을
라고 하자.
의 관상 주변은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 벡터 다발
![{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbc91fed6c83d7d77f0756306608f8f4309538f)
- 단사 연속 함수
. 이는
와
사이의 위상 동형을 정의해야 한다..
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 값이 항상 0인 단면
에 대하여,
이다.
존재와 유일성[편집]
매끄러운 다양체
,
및 매끄러운 매장
이 존재한다고 하자. 그렇다면,
는 항상 관상 주변을 (하나 이상) 가지며, 이 경우 벡터 다발은 법다발
![{\displaystyle \mathrm {N} _{\iota }M=\iota ^{*}\mathrm {T} N/\mathrm {T} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63986fa76ed14ee57f775c6ab431bbfc61d5d2e8)
으로 잡을 수 있다.
의, 법다발에 대한 관상주변들의 집합을
라고 하자. 이는 포함 관계
![{\displaystyle \operatorname {Tub} (\iota )\subseteq {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathrm {N} _{\iota }M,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539384c3851a3e7b08f0078f01ed79690c871892)
를 갖는다.
위에
위상을 부여할 수 있다. 만약
과
이 추가로 콤팩트 공간이라면, 그 부분 공간
는 축약 가능 공간이다.[1]:Proposition 31 즉, 이러한 조건 아래 관상 주변은 호모토피에 대하여 유일하다.
폰트랴긴-톰 사상[편집]
두 콤팩트 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 매장
의 관상 주변
![{\displaystyle f\colon \mathrm {N} _{\iota }X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9a8c96bd62e13671f47c62037183ef86bec26d)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 다음과 같은 연속 함수이다.
![{\displaystyle \operatorname {coll} (f)\colon Y\to {\frac {Y}{Y\setminus \operatorname {im} f}}\cong \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c84701cbe4e754a8447b817902918892e031039)
이는 물론 몫공간에 대한 표준적 전사 함수이다. 그 공역
은 정의에 따라 법다발의 톰 공간
과 위상 동형이며, 이 위상 동형의 호모토피류는 표준적이다.
특히,
(초구)인 경우를 생각하자. 휘트니 매장 정리에 따라서, 모든
차원 콤팩트 다양체는 충분히 큰 차원의 초구
속의 매장
![{\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2923ec0975c2ce4cf1b306ea294c9a2e6afa438)
을 갖는다. 이 경우, 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 호모토피 군의 원소
![{\displaystyle \operatorname {coll} (\iota )\colon \mathbb {S} ^{k+n}\to \operatorname {Th} (\mathrm {N} _{\iota }X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc98b4027a15bcb959f52cd48b37d34aef557cf2)
를 정의한다. 법다발은
의 구조를 가지므로, 분류 공간
로 가는, 법다발을 분류하는 사상
을 찾을 수 있다. 즉,
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+k}\,{\xrightarrow {\operatorname {coll} }}\,X\,{\xrightarrow {\phi }}\,\operatorname {BO} (k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bc7540a5c74d2b8cadbebb3fe37d49e81b6c70)
이다.
선형 포함 관계
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3d9fb0dbd3964417028785eb3a9b35a2878ce6)
의 알렉산드로프 콤팩트화
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1748459cc687056467a5d0baa08809811d7ac2)
에 따라, 이는 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라는 어떤 스펙트럼의 안정 호모토피 군의 원소를 정의한다. 이는 사실 매장
에 의존하지 않으며,
의 보충 경계에 대한 모든 정보를 담고 있다 (톰 정리 영어: Thom’s theorem).
폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 르네 톰과 레프 폰트랴긴의 이름을 땄다.
참고 문헌[편집]
- ↑ Godin, Veronique (2007). “Higher string topology operations” (영어). arXiv:0711.4859.
외부 링크[편집]