슈어 분해

선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.^[1]^[2]^[3]

정의[편집]

슈어 분해[편집]

임의의 복소수 $n\times n$ 행렬 $M$ 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $M$ 의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 ( $(-)^{\dagger }$ 는 켤레 전치).^[2]^{:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3}^[3]^{:316, §8.5, Corollary}

M=QTQ^{\dagger }

여기서

$Q$ 는 $n\times n$ 유니터리 행렬이다.
$T$ 는 복소수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우, $T$ 의 대각 성분들은 $M$ 의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약 $M$ 이 정규 행렬일 경우, $T$ 는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).

실수 슈어 분해[편집]

임의의 실수 $n\times n$ 행렬 $M$ 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $M$ 의 실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 ( $(-)^{\top }$ 은 전치 행렬).^[2]^{:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1}

M=QTQ^{\top }

여기서

$Q$ 는 실수 $n\times n$ 직교 행렬이다.
$T$ 는 실수 $n\times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1\times 1$ 행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는 $2\times 2$ 행렬이다.

이 경우, $M$ 의 고윳값은 $T$ 의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은 $T$ 의 $1\times 1$ 대각 성분이다. 만약 $M$ 의 모든 고윳값이 실수일 경우, $T$ 는 상삼각 행렬이 된다.^[1]^:656 만약 $M$ 이 대칭 행렬일 경우, $T$ 는 대각 행렬이 된다.

일반화 슈어 분해[편집]

임의의 두 복소수 $n\times n$ 행렬 $M$ , $N$ 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $(M,N)$ 의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.^[2]^{:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1}

M=QSZ^{\dagger }

N=QTZ^{\dagger }

여기서

$Q$ 와 $Z$ 는 $n\times n$ 유니터리 행렬이다.
$S$ 와 $T$ 는 복소수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우, $(M,N)$ 의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.

\sigma (M,N)=\sigma (S,T)={\begin{cases}\{S_{ii}/T_{ii}\colon T_{ii}\neq 0\}&\not \exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\\\mathbb {C} &\exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\end{cases}}

실수 일반화 슈어 분해[편집]

임의의 두 복소수 $n\times n$ 행렬 $M$ , $N$ 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $(M,N)$ 의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.^[2]^{:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2}

M=QSZ^{\top }

N=QTZ^{\top }

여기서

$Q$ 와 $Z$ 는 실수 $n\times n$ 직교 행렬이다.
$S$ 는 실수 $n\times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1\times 1$ 또는 $2\times 2$ 행렬이다.
$T$ 는 실수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

역사[편집]

유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.

참고 문헌[편집]

↑ ^가 ^나 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449.
↑ ^가 ^나 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.

외부 링크[편집]

Weisstein, Eric Wolfgang. “Schur decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Anton-1] 가 ^나 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.

[Golub-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449.

[Hoffman-3] 가 ^나 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.

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