슈어 분해

선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.

정의

슈어 분해

임의의 복소수 $n\times n$ 행렬 $M$은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $M$의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 ($(-)^{\dagger }$는 켤레 전치).^{:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3:316, §8.5, Corollary}

$M=QTQ^{\dagger }$

여기서

• $Q$는 $n\times n$ 유니터리 행렬이다.
• $T$는 복소수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우, $T$의 대각 성분들은 $M$의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약 $M$이 정규 행렬일 경우, $T$는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).

실수 슈어 분해

임의의 실수 $n\times n$ 행렬 $M$은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $M$의 실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 ($(-)^{\top }$은 전치 행렬).^{:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1}

$M=QTQ^{\top }$

여기서

• $Q$는 실수 $n\times n$ 직교 행렬이다.
• $T$는 실수 $n\times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1\times 1$ 행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는 $2\times 2$ 행렬이다.

이 경우, $M$의 고윳값은 $T$의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은 $T$의 $1\times 1$ 대각 성분이다. 만약 $M$의 모든 고윳값이 실수일 경우, $T$는 상삼각 행렬이 된다.^:656 만약 $M$이 대칭 행렬일 경우, $T$는 대각 행렬이 된다.

일반화 슈어 분해

임의의 두 복소수 $n\times n$ 행렬 $M$, $N$은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $(M,N)$의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.^{:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1}

$M=QSZ^{\dagger }$

$N=QTZ^{\dagger }$

여기서

• $Q$와 $Z$는 $n\times n$ 유니터리 행렬이다.
• $S$와 $T$는 복소수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우, $(M,N)$의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.

$\sigma (M,N)=\sigma (S,T)={\begin{cases}\{S_{ii}/T_{ii}\colon T_{ii}\neq 0\}&\not \exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\\\mathbb {C} &\exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\end{cases}}$

실수 일반화 슈어 분해

임의의 두 복소수 $n\times n$ 행렬 $M$, $N$은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $(M,N)$의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.^{:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2}

$M=QSZ^{\top }$

$N=QTZ^{\top }$

여기서

• $Q$와 $Z$는 실수 $n\times n$ 직교 행렬이다.
• $S$는 실수 $n\times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1\times 1$ 또는 $2\times 2$ 행렬이다.
• $T$는 실수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

역사

유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Schur decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.