선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.[1][2][3]
슈어 분해[편집]
임의의 복소수
행렬
은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를
의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 (
는 켤레 전치).[2]:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3[3]:316, §8.5, Corollary
![{\displaystyle M=QTQ^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933042b72b43d90d8d557ca0935b69b08556cae8)
여기서
는
유니터리 행렬이다.
는 복소수
상삼각 행렬이다.
이 경우,
의 대각 성분들은
의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약
이 정규 행렬일 경우,
는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).
실수 슈어 분해[편집]
임의의 실수
행렬
은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를
의 실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 (
은 전치 행렬).[2]:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1
![{\displaystyle M=QTQ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9926296eb8795f54b67c67a5dafbc44e665afbcf)
여기서
는 실수
직교 행렬이다.
는 실수
블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은
행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는
행렬이다.
이 경우,
의 고윳값은
의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은
의
대각 성분이다. 만약
의 모든 고윳값이 실수일 경우,
는 상삼각 행렬이 된다.[1]:656 만약
이 대칭 행렬일 경우,
는 대각 행렬이 된다.
일반화 슈어 분해[편집]
임의의 두 복소수
행렬
,
은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를
의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.[2]:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1
![{\displaystyle M=QSZ^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a856e22425300d95fe1e491e410f72f4cf1cd7)
![{\displaystyle N=QTZ^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8c84ae12f7d5f1bcaafc76b607e61f10e55f73)
여기서
와
는
유니터리 행렬이다.
와
는 복소수
상삼각 행렬이다.
이 경우,
의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.
![{\displaystyle \sigma (M,N)=\sigma (S,T)={\begin{cases}\{S_{ii}/T_{ii}\colon T_{ii}\neq 0\}&\not \exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\\\mathbb {C} &\exists i\in \{1,\dots ,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0260b405e2ecfb8c0ca657f945ab6e79ecef4ae)
실수 일반화 슈어 분해[편집]
임의의 두 복소수
행렬
,
은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를
의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.[2]:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2
![{\displaystyle M=QSZ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f4ab4147f6995968bde97004b10934ebf4a4a7)
![{\displaystyle N=QTZ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dda3e3ab2a93bb3793066f181718b5edb9bcafa)
여기서
와
는 실수
직교 행렬이다.
는 실수
블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은
또는
행렬이다.
는 실수
상삼각 행렬이다.
유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.
- ↑ 가 나 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.
- ↑ 가 나 다 라 마 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449.
- ↑ 가 나 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.
외부 링크[편집]