[[파일:Spring05.jpg|right|300px|thumb|조화진동을 하는 대표적인 예인 [[용수철]].]]
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'''조화진동자'''(調和振動子, {{llang|en|harmonic oscillator}})란 [[고전역학]]에서 다루는 기본적인 [[계_(물리학)|계]]들 중의 하나로, 평형점에서 물체가 이동했을 때, 다음과 같은 [[훅의 법칙]]에 의한 [[복원력]]
'''조화진동자'''(調和振動子, {{llang|en|harmonic oscillator}})란 [[고전역학]]에서 다루는 기본적인 [[계_(물리학)|계]] 중의 하나로, 평형점에서 물체가 이동했을 때, 다음과 같은 [[훅의 법칙]]에 의한 [[복원력]]
:<math>F = - kx</math>
:<math>F = - kx</math>
을 받는 계를 말한다. 여기서 <math>k</math>는 양의 상수이다.
을 받는 계를 말한다. 여기서 <math>k</math>는 양의 상수이다.
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[[속도]]에 비례하는 [[마찰력]]이 존재하는 경우에는 이 진동자를 '''감쇠진동자'''라 한다({{lang|en|damped oscillator}}). 이 경우에는, 마찰이 없는 경우에 비해 진동수가 작아지고 진폭 또한 시간에 따라 점점 줄어드는 운동을 보인다.
[[속도]]에 비례하는 [[마찰력]]이 존재하는 경우에는 이 진동자를 '''감쇠진동자'''라 한다({{lang|en|damped oscillator}}). 이 경우에는, 마찰이 없는 경우에 비해 진동수가 작아지고 진폭 또한 시간에 따라 점점 줄어드는 운동을 보인다.
마지막으로, 마찰력이 아닌 다른 [[외력]]이 이 계에 작용하는 경우에는 이 진동자를 '''강제진동자'''({{lang|en|forced oscillator}})라 한다. 이러한 진동자의 역학적 예로는 [[질량]]이 있는 물체가 연결된 [[용수철]], 작게 진동하는 [[진자]] 그리고 기타의 현과 같은 음향계들이 있다. 또한 이와 유사한 행동을 보여주는 [[RLC 회로]]와 같은 전기적인 조화진동자도 있다. 실제로 자연이나 인공적으로 만들어진 진동에는 이상적이고 완전한 조화진동자는 없지만, 조화진동자를 분석하는 것은 수학과 물리학, 그리고 여러 응용과학에서 자연의 여러 계에 대한 깊은 이해를 하는데 도움을 준다.
마지막으로, 마찰력이 아닌 다른 [[외력]]이 이 계에 작용하는 경우에는 이 진동자를 '''강제진동자'''({{lang|en|forced oscillator}})라 한다. 이러한 진동자의 역학적 예로는 [[질량]]이 있는 물체가 연결된 [[용수철]], 작게 진동하는 [[진자]] 그리고 기타의 현과 같은 음향계들이 있다. 또한, 이와 유사한 행동을 보여주는 [[RLC 회로]]와 같은 전기적인 조화진동자도 있다. 실제로 자연이나 인공적으로 만들어진 진동에는 이상적이고 완전한 조화진동자는 없지만, 조화진동자를 분석하는 것은 수학과 물리학, 그리고 여러 응용과학에서 자연의 여러 계에 대해 깊은 이해를 하는데 도움을 준다.
이 문서에서는 [[고전역학]]의 표기법을 따라 시간에 대한 미분은 변수 위에 점을 찍어 표현한다.
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2010년 2월 4일 (목) 11:55 판
이 문서는 고전역학에 관한 것입니다. 양자역학에 대해서는 양자조화진동자 문서를 참고하십시오.
조화진동자(調和振動子, 영어: harmonic oscillator)란 고전역학에서 다루는 기본적인 계 중의 하나로, 평형점에서 물체가 이동했을 때, 다음과 같은 훅의 법칙에 의한 복원력
을 받는 계를 말한다. 여기서 는 양의 상수이다.
만약, 가 계에 작용하는 유일한 힘이라면 이 진동자를 단순조화진동자(simple harmonic oscillator)라 한다. 이 계의 운동은, 진폭과 진동수가 일정한 사인 모양진동을 보여준다.
속도에 비례하는 마찰력이 존재하는 경우에는 이 진동자를 감쇠진동자라 한다(damped oscillator). 이 경우에는, 마찰이 없는 경우에 비해 진동수가 작아지고 진폭 또한 시간에 따라 점점 줄어드는 운동을 보인다.
마지막으로, 마찰력이 아닌 다른 외력이 이 계에 작용하는 경우에는 이 진동자를 강제진동자(forced oscillator)라 한다. 이러한 진동자의 역학적 예로는 질량이 있는 물체가 연결된 용수철, 작게 진동하는 진자 그리고 기타의 현과 같은 음향계들이 있다. 또한, 이와 유사한 행동을 보여주는 RLC 회로와 같은 전기적인 조화진동자도 있다. 실제로 자연이나 인공적으로 만들어진 진동에는 이상적이고 완전한 조화진동자는 없지만, 조화진동자를 분석하는 것은 수학과 물리학, 그리고 여러 응용과학에서 자연의 여러 계에 대해 깊은 이해를 하는데 도움을 준다.
이 문서에서는 고전역학의 표기법을 따라 시간에 대한 미분은 변수 위에 점을 찍어 표현한다.
단순조화진동
훅의 법칙에 의한 힘 이외에 다른 힘을 받지 않는 진동을 단순조화진동 (간단히 단진동) 또는 자유진동(free oscillation)이라고 한다. 보통 일직선상에서 주기적이며, 사인 모양의 운동을 보여준다. 이 운동은 경우에 따라 서로 다른 진동수, 주기, 진폭, 위상을 가지게 된다. 여기서 진동수와 주기는 계의 구성에 따라 바뀌게 되며, 진폭과 위상은 초기 조건에 따라 바뀌게 된다.
단순조화진동은 등속원운동의 1차원 사영으로 볼 수도 있다. 어떤 물체가 각진동수 로 반지름이 인 xy평면 위의 원에서 원은동을 하면 이 운동의 x좌표와 y좌표는 진폭이 이고 각진동수가 인 단순조화운동의 경우와 똑같은 방정식이 된다. 각속도가 , 초기 위치가 극좌표에서 인 등속원운동을 2차원 극좌표에 표현하면
이다. 이 경우, 같은 조건의 단순조화운동에 비해 각진동수가 낮고, 진폭이 시간이 지남에 따라 점점 줄어드는 것을 알 수 있다.[10]
과감쇠진동
인 경우를 과감쇠진동 또는 지수적 감쇠진동(overdamped oscillation)이라 한다. 물 속과 같은 강한 저항이 존재하는 곳에서 진동이 일어날 때 많이 일어나는 진동이다. 이 경우, 근은 다음과 같이 실근으로 나온다.[10]
좀 더 보기 쉽게 위 근을 아래외 같이 쓰기도 한다.
여기서 과 는 임의의 상수이고,
이다. 여기서 는 로 쓰긴 했지만, 이 운동은 주기 운동이 아니기 때문에, 각진동수를 의미하는 값이 아님에 유의하자.
임계감쇠진동
인 경우를 임계감쇠진동(critically damped oscillation)이라 한다. 이 진동은 저감쇠진동과 과감쇠진동의 중간에 위치하는 진동이다. 이 경우, 위에서 구한 근은 하나 뿐이기 때문에 이 운동을 풀기 위해선 하나의 해가 더 필요하다. 그 해는 꼴의 해임이 알려져 있다.[10] 따라서 이 운동의 해는 다음과 같다.[10]
여기서 과 는 임의의 상수이다.
주어진 조건 하에서, 임계감쇠진동은 어떤 진동이 가장 빨리 멈추는 진동의 형태이다.[11]
상도표
저감쇠진동
저감쇠진동의 경우, 시간에 따른 물체의 위치와 속도는 다음과 같이 나타난다.
이 두 변수에 의한 위상공간에서의 좌표는 다음과 같이 새로운 좌표 로 선형변환을 하면 그 의미를 쉽게 파악할 수 있다.
위 두 좌표로 식을 다시 쓰면,
두 식은 사인함수와 코사인 함수를 제외하곤 비슷한 형태로 나타내어져 있기 때문에 극좌표를 사용하면 이를 쉽게 기술할 수 있다. 다음과 같이 극좌표 로 변환을 하면
과감쇠진동은 진동이 지수적으로 평형점으로 수렴하기 때문에, 이의 상도표는 평형점으로 급격히 떨어지는 모습을 취한다.
강제감쇠진동
강제감쇠진동(forced damped oscillation, driven damped oscillation)은 마찰력 외의 시간에 관계된 외력이 존재하는 경우의 감쇠진동을 말한다.
운동 방정식
이 경우의 운동 방정식은 강제진동과 마찬가지로, 우변에 외력에 관한 항 가 나타난다.
또한, 감쇠진동과 마찬가지로 더 간단히 이 식을 아래와 같이 쓰기도 한다.
이 운동의 해는 강제진동과 비슷하게 동차해에 해당하는 감쇠진동의 해 와 외력에 따라 변하는 특수해 로 구성되어 있다.
외력이 주기적 힘인 경우
외력이 다음과 같이 주기적으로 주어지는 경우를 생각해보자.
이 경우 특수해는 다음과 같은 형태를 갖는다.
이를 운동 방정식에 대입하고, 삼각함수를 전개하면,
이 된다. 두 삼각함수 와 는 선형독립인 함수이므로, 각 항의 계수의 값은 0이 되어야 한다. 먼저, 항에서 에 대한 조건인
을 얻을 수 있다. 이를 사인함수와 코사인함수에 대한 식으로 고치면
이 된다. 이를 항에 대입하 상수 를 구하면,
을 얻는다. 따라서 이 경우의 특이해는
이다.
이 경우의 특이해는 여러 응용 분야와 문제들에서 중요하게 다루어진다.[13] 외력이 주기적으로 주어지는 강제조화진동의 경우, 운동의 동차해는 감쇠진동의 해이기 때문에 점차 사라지는 과도적인 해(transient solution)이기 때문에 오랜 시간이 지나면 특수해만이 남기 때문이다. 때문에 이 해를 정상상태의 해(steady-state solution)라 부르기도 한다.
외력이 일반적인 힘인 경우
초기에 정지해 있는 진동의 경우, 다음과 같은 그린 함수를 사용해 문제를 해결할 수 있다.[14][15]
이 때, 운동의 해는 다음과 같다.
동등한 계들
여러 공학분야에서 조화진동자의 운동방정식과 동등한 미분방정식이 등장한다. 이러한 경우, 그 계의 행동은 조화진동자와 같은 행동을 보이게 된다. 아래는 기계, 전자 분야에서 등장하는 네가지 예와 그에 해당하는 각각의 물리량을 비교하고 있다. 여기서 같은 줄에 있는 물리량들은 수학적으로 조화진동자 모델 하에서 동등한 물리량임을 의미한다.
↑Dennis. G. Zill; Michael R. Cullen. 《Advanced Engineering Mathematics》 Thi판. Jones & Bartlett Pub. p. 120쪽.지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.2 Simple Harmonic Oscillator〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 102쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ 가나다Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.2 Simple Harmonic Oscillator〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 101쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.4 Phase Diagrams〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 106-8쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Herbert Goldstein; Charles Poole, John Safko. 〈9.3 The Harmonic Oscillator〉. 《Classical Mechanics》 Thi판. Addison Wesley. p. 377-9쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ 가나다라마Dennis. G. Zill; Michael R. Cullen. 《Advanced Engineering Mathematics》 Thi판. Jones & Bartlett Pub. p. 154쪽.지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.5 Damped Oscillations, Critically Damped Motion〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 114쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.5 Damped Oscillations, Underdamped Motion〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 111-3쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.6 Sinusoidal Driving Forces〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 119쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion. 〈3.9 The Response of Linear Oscillators to Impulsive Forcing functions (Optional), Response to an Impluse Fuction〉. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole. p. 136쪽.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Stephen T Thornton; Jerry B. Marion. 《Classical Dynamics of Particles and Systems》 Fif판. Brooks/Cole.지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Herbert Goldstein; Charles Poole, John Safko. 《Classical Mechanics》 Thi판. Addison Wesley.지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Dennis. G. Zill; Michael R. Cullen. 《Advanced Engineering Mathematics》 Thi판. Jones & Bartlett Pub.지원되지 않는 변수 무시됨: |발행년도= (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)