닫힌 몰입: 두 판 사이의 차이

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2019년 1월 28일 (월) 04:34 판

정의

스킴 $Y$ , $X$ 사이의 사상 $f\colon Y\to X$ 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)이라고 한다.^[1]^:85

$f(Y)$ 가 $Y$ 와 위상 동형이다.
$f(Y)$ 는 닫힌집합이다.
$f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ 는 전사 사상이다. (이는 모든 점 $x\in X$ 에서 줄기 사상 ${\mathcal {O}}_{X,x}\to {\mathcal {O}}_{Y,x}$ 가 전사 함수인 것과 동치이다.)

스킴 $X$ 의 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 $X$ 위의 스킴의 범주 $\operatorname {Sch} /X$ 에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.^[1]^:85 즉, 두 닫힌 몰입 $f\colon Y\to X$ , $f'\colon Y'\to X$ 에서, $f'=i\circ f$ 인 동형 $i\colon Y\to Y'$ 이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

성질

함의 관계

모든 닫힌 몰입은 유한 사상이다.

연산에 대한 닫힘

임의의 세 스킴 $X$ , $Y$ , $Z$ 및 스킴 사상

X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z

가 주어졌다고 하자. 만약 $g\circ f$ 가 닫힌 몰입이며, $g$ 가 분리 사상이라면, $f$ 역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

예

임의의 가환환 $R$ 및 그 아이디얼 ${\mathfrak {i}}\subseteq R$ 에 대하여, 몫환 준동형 $q\colon R\twoheadrightarrow R/{\mathfrak {i}}$ 에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 $\operatorname {Spec} q\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})\to \operatorname {Spec} R$ 는 닫힌 몰입이다.

참고 문헌

↑ ^가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

외부 링크

“Closed subscheme”. 《nLab》 (영어).
“Closed immersion of schemes”. 《nLab》 (영어).

[Hartshorne-1] 가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

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+== 정의 ==
+[[스킴 (수학)|스킴]] <math>Y</math>, <math>X</math> 사이의 사상 <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시키는 스킴 사상을 '''닫힌 몰입'''(-沒入, {{llang|en|closed immersion}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|85}}
+* <math>f(Y)</math>가 <math>Y</math>와 [[위상 동형]]이다.
+* <math>f(Y)</math>는 [[닫힌집합]]이다.
+* <math>f^{\#}\colon\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y</math>는 [[전사 사상]]이다. (이는 모든 점 <math>x\in X</math>에서 [[줄기 (수학)|줄기]] 사상 <math>\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{Y,x}</math>가 [[전사 함수]]인 것과 동치이다.)
+스킴 <math>X</math>의 '''닫힌 부분 스킴'''({{llang|en|closed subscheme}})은 <math>X</math> 위의 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}/X</math>에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|85}}  즉, 두 닫힌 몰입 <math>f\colon Y\to X</math>, <math>f'\colon Y'\to X</math>에서, <math>f'=i\circ f</math>인 동형 <math>i\colon Y\to Y'</math>이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.
+== 성질 ==
+=== 함의 관계 ===
+모든 닫힌 몰입은 [[유한 사상]]이다.
+=== 연산에 대한 닫힘 ===
+임의의 세 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 및 [[스킴 사상]]
+:<math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>
+가 주어졌다고 하자. 만약 <math>g\circ f</math>가 닫힌 몰입이며, <math>g</math>가 [[분리 사상]]이라면, <math>f</math> 역시 닫힌 몰입이다.
+두 닫힌 몰입의 [[함수의 합성|합성]]은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.
+== 예 ==
+임의의 [[가환환]] <math>R</math> 및 그 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i\subseteq R</math>에 대하여, [[몫환]] 준동형 <math>q\colon R\twoheadrightarrow R/\mathfrak i</math>에 대응하는, [[아핀 스킴]] 사이의 [[스킴 사상]] <math>\operatorname{Spec}q\colon\operatorname{Spec}(R/\mathfrak i)\to \operatorname{Spec}R</math>는 닫힌 몰입이다.
+== 참고 문헌 ==
+{{각주}}
+== 외부 링크 ==
+* {{nlab|id=closed subscheme|title=Closed subscheme}}
+* {{nlab|id=closed immersion of schemes|title=Closed immersion of schemes}}
+[[분류:스킴 이론]]