당김 (미분기하학)

미분기하학에서, 당김(pullback)이란 한 다양체 위에 정의된 공변(covariant) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끈한 미분다양체 사이의 매끄러운 함수 $\phi \colon M\to N$이 주어지면, $N$ 위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) $T=T_{\mu \nu \rho \dots }$에 대하여, $M$ 위에 대응하는 텐서 $\Phi ^{*}T$를 정의할 수 있다. 이를 $T$의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

정의

$\phi \colon M\to N$을 미분가능한 함수라고 하고, $\omega (v_{1},\dots ,v_{k})$가 $k$차 공변 텐서($k$개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 $M$ 위에 정의된 $k$차 텐서 $\phi ^{*}\omega$를 다음과 같이 정할 수 있다.

$(\phi ^{*}\omega )(v_{1},\dots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(d\phi _{p}(v_{1}),\dots ,d\phi _{p}(v_{k}))$.

여기서 $p\in M$, $v_{i}\in T_{p}M$ (점 $p$에서의 접공간), $d\phi _{p}\colon T_{p}M\to T_{p}N$은 점 $p$에서 $\phi$의 미분이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 $f$의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

$\phi ^{*}f=f\circ \phi$

이다.

성질

f : Rⁿ → R^m, g : R^p → Rⁿ 를 미분가능한 함수, α 와 β 를 R^m 에서의 k-형식, γ : R^m → R 를 R^m 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

• $f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\;$
• $f^{*}(\gamma \alpha )=f^{*}(\gamma )f^{*}(\alpha )\;$
• $f^{*}(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})=f^{*}(\alpha _{1})\wedge \cdots \wedge f^{*}(\alpha _{k})\;$

여기서 α₁, …, α_k 가 R^m 에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.

• $f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )$

여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

• $(f\circ g)^{*}\alpha =g^{*}(f^{*}\alpha )$

참고문헌

• Manfredo P. do Carmo. 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag.