합곱: 두 판 사이의 차이

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2015년 2월 7일 (토) 09:44 판

대수적 위상수학에서, 컵곱(영어: cup product)은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

위상 공간 $X$ 및 가환환 $R$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같은 $R$ -선형 변환이다.

\smile \colon C^{p}(X;R)\times C^{q}(X;R)\to C^{p+q}(X;R)

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 $p$ 차 특이 쌍대사슬 $c\in C^{p}(X;R)$ 및 $q$ 차 특이 쌍대사슬 $d\in C^{q}(X;R)$ 및 $(p+q)$ 차 특이 사슬 $\sigma \colon \Delta ^{p+q}\to X$ 에 대하여,

c\smile d\colon \sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})

여기서

\iota _{S}\colon \Delta ^{p+q}\to \Delta ^{|S|}

( $S\subset \{0,1,...,p+q\}$ )는 꼭짓점들이 $\{0,1,\dots ,p+q\}$ 인 $p+q$ 차원 표준 단체를, $S$ 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 국한시키는 함수이다.

쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 $\delta$ 와 호환된다.

\delta (c\smile d)=\delta c\smile d+(-1)^{\deg c}(c\smile \delta d)

따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 컵곱

\smile \colon H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\to H^{p+q}(X;R)

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 $H^{\bullet }(X;R)$ 는 등급환을 이룬다.

코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환환 법칙을 따른다.

\alpha \smile \beta =(-1)^{\deg \alpha \deg \beta }(\beta \smile \alpha )

컵곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 코호몰로지의 당김

f^{*}\colon H^{\bullet }(Y)\to H^{\bullet }(X)

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 $\alpha ,\beta \in H^{\bullet }(Y)$ 에 대하여,

f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),

즉, $f^{*}$ 는 등급환의 준동형사상을 이룬다.

컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐 · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

@@ 8번째 줄: / 8번째 줄: @@
 이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 <math>p</math>차 특이 쌍대사슬 <math>c\in C^p(X;R)</math> 및 <math>q</math>차 특이 쌍대사슬 <math>d\in C^q(X;R)</math> 및 <math>(p+q)</math>차 특이 사슬 <math>\sigma\colon\Delta^{p+q}\to X</math>에 대하여,
 :<math>c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
+여기서
-여기서 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 꼭짓점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다. 여기서 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
+:<math>\iota_S\colon\Delta^{p+q}\to\Delta^{|S|}</math>
+(<math>S \subset \{0,1,...,p+q \} </math>)는 꼭짓점들이 <math>\{0,1,\dots,p+q\}</math>인 <math>p+q</math>차원 표준 단체를, <math>S</math>에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 국한시키는 [[함수]]이다.
 === 코호몰로지류의 컵곱 ===