축소 판정법

대수학에서, 축소 판정법(縮小判定法, 영어: reduction criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

두 정역 $R,S$ 및 환 준동형 $\phi \colon R\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\phi$는 자연스럽게 다항식환 사이의 환 준동형

${\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S[x]$

${\widetilde {\phi }}\colon r\mapsto \phi (r)\qquad \forall r\in R$

${\widetilde {\phi }}\colon x\mapsto x$

로 확장될 수 있다. 이제, $R,S$의 분수체를 각각 $\operatorname {Frac} R$와 $\operatorname {Frac} S$라고 하고, 다항식 $p\in R[x]$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• $\deg {\widetilde {\phi }}(p)=\deg p$
• ${\widetilde {\phi }}(p(x))$는 $(\operatorname {Frac} S)[x]$의 기약 다항식이다.

축소 판정법에 따르면, $p(x)$는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수의 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 $R$가 유일 인수 분해 정역일 경우, $p(x)$는 $(\operatorname {Frac} R)[x]$의 기약 다항식이다.^{:185 §IV.3 Theorem 3.2}

증명

귀류법을 사용하여,

$p(x)=q(x)r(x)$

$\deg q,\deg r\geq 1$

인 $q,r\in R[x]$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,

${\widetilde {\phi }}(p(x))={\widetilde {\phi }}(q(x)){\widetilde {\phi }}(r(x))$

이다. 또한,

$\deg q+\deg r=\deg p=\deg {\widetilde {\phi }}(p)=\deg {\widetilde {\phi }}(q)+\deg {\widetilde {\phi }}(r)$

$\deg {\widetilde {\phi }}(q)\leq \deg q$

$\deg {\widetilde {\phi }}(r)\leq \deg r$

이므로,

$\deg {\widetilde {\phi }}(q)=\deg q\geq 1$

$\deg {\widetilde {\phi }}(r)=\deg r\geq 1$

이다. 이는 ${\widetilde {\phi }}(p)\in (\operatorname {Frac} S)[x]$가 기약 다항식인 데 모순이다.