대수학에서, 축소 판정법(縮小判定法, 영어: reduction criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분 조건을 제시하는 정리이다.
두 정역
및 환 준동형
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 자연스럽게 다항식환 사이의 환 준동형
![{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c614feea83da8430c3ca104db844993e1fbbf1f2)
![{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon r\mapsto \phi (r)\qquad \forall r\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511431ae0d5c47e31412227bd13ad62a138c9997)
![{\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon x\mapsto x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b23205a84771f00bcff3a445665bb749846d5fc)
로 확장될 수 있다. 이제,
의 분수체를 각각
와
라고 하고, 다항식
가 다음을 만족시킨다고 하자.
![{\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(p)=\deg p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8183b229d684938f4b332aabf33ec63f34f494)
는
의 기약 다항식이다.
축소 판정법에 따르면,
는 더 낮은 차수의 두
계수의 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약
가 유일 인수 분해 정역일 경우,
는
의 기약 다항식이다.[1]:185 §IV.3 Theorem 3.2
귀류법을 사용하여,
![{\displaystyle p(x)=q(x)r(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c34181a0b91f5e4e8805f8f7f28f4c10ed46d99)
![{\displaystyle \deg q,\deg r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5df2617bc0bccf16a89fd7fd7a61b8a72de8859)
인
가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,
![{\displaystyle {\widetilde {\phi }}(p(x))={\widetilde {\phi }}(q(x)){\widetilde {\phi }}(r(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e7b7e45984f54cf138eb85e4b920ef6ce12c95)
이다. 또한,
![{\displaystyle \deg q+\deg r=\deg p=\deg {\widetilde {\phi }}(p)=\deg {\widetilde {\phi }}(q)+\deg {\widetilde {\phi }}(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962e4719ea0259475610db9366fb3d163e48ed3d)
![{\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(q)\leq \deg q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38904fa6d2eee18b2d5eda9074d5c1e8bd1d30c2)
![{\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(r)\leq \deg r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3fba43498cf555252a26cceae60dc61e73bcfc)
이므로,
![{\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(q)=\deg q\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3379cee325ba0cb68428534d49abaa345cdd54)
![{\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(r)=\deg r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16993b054427657beee48ec9e2bfb823fb3bf90)
이다. 이는
가 기약 다항식인 데 모순이다.