차원 축소 (물리학)

이론물리학에서, 차원 축소(次元縮小, 영어: dimensional reduction)는 고차원에 정의된 장론으로부터, 더 낮은 차원에 존재하는 장론을 구성하는 방법이다.

정의

$D+n$차원에서, 어떤 장론이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 다음과 같은 과정을 가하자.

• 우선, 이 이론을 $M_{D}\times \Sigma _{n}$의 꼴의 공간 위에 정의한다 (축소화). 여기서 $\Sigma _{n}$은 콤팩트 리만 다양체이며, 보통 $n$차원 원환면을 사용한다.
• 이제, $\Sigma _{n}$의 부피가 0이 되는 극한을 취한다. 그렇다면, 질량이 $\Sigma _{n}$의 크기의 역수에 비례하는 칼루차-클라인 장들은 무한대의 질량을 갖게 되어, 이론에서 적분하여 없앨 수 있다.

그렇다면, $M_{D}$ 위에 정의되는 $D$차원 장론을 얻게 된다. 이를 원래 이론의 $D$차원 차원 축소라고 한다.

성질

구체적으로, 장들은 차원 축소 아래 다음과 같은 표현을 갖는다. 여기서

• $M,N,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,D+n-1\}$는 $D+n$차원에서의 벡터 지표이다.
• $\mu ,\nu ,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,D-1\}$는 $D$차원에서의 벡터 지표이다.
• $i,j,\dotsc \in \{D,D+1,\dotsc ,D+n-1\}$는 축소된 차원들의 지표이다.

스칼라장

스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다.

양-밀스 장

$D+n$ 차원에서, 게이지 군 $G$에 대한 양-밀스 장 $A_{M}^{a}$는 $D$차원에서 1개의 양-밀스 장 $A_{\mu }^{a}$ 및 $n$개의 딸림표현 스칼라장 $A_{i}^{a}$들로 분해된다.

미분 형식

$D+n$차원에서 $p$차 미분 형식 게이지 장 $A_{M_{1}\dotsb M_{p}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 $D$차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다.

• 각 $k\in \{0,1,\dotsc ,p\}$에 대하여, $\textstyle {\binom {n}{p-k}}$개의 $k$차 미분 형식 게이지장 $A_{\mu _{1}\dotso \mu _{k}i_{k+1}\dotso i_{p}}$

이때, $k$차 미분 형식 게이지장은 물론 쌍대화에 따라서 $D-2-k$차 미분 형식 게이지장과 동치이다.

중력장

$D+n$차원의 중력장 $g_{MN}$은 $D$차원에서 다음과 같이 분해된다.

• $n(n+1)/2$개의 스칼라장 $g_{ij}$. 이 가운데 하나는 딜라톤을 이룬다.
• 1개의 중력장 $g_{\mu \nu }$
• $n$개의 U(1) 게이지장 $g_{\mu i}$. 그 게이지 대칭은 $D+n$차원 미분 동형 사상 게이지 대칭 가운데 $D$차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다.

페르미온

페르미온은 차원 축소 아래 페르미온으로 남게 된다. 만약 $D$가 홀수일 때, $D+1$차원에서의 바일 스피너는 $D$차원에서의 디랙 스피너가 된다.

예

4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소한다고 하자. 이 경우, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다. 그런데 3차원은 다음과 같은 특별한 성질을 갖는다.

• 3차원에서 중력장은 국소 자유도를 갖지 않는다.
• 3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다.

즉, 이 경우 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 시그마 모형으로 적을 수 있게 된다.

구체적으로, 4차원 필바인 $E_{M}{}^{A}$을 다음과 같이 적자.

$E_{M}{}^{A}={\begin{pmatrix}e_{\mu }{}^{\alpha }/{\sqrt {\Delta }}&{\sqrt {\Delta }}A_{\mu }\\0&{\sqrt {\Delta }}\end{pmatrix}}$

여기서

• $e_{\mu }{}^{\alpha }$는 3차원 필바인이다.
• $\Delta$는 딜라톤이다.
• $A_{\mu }$는 3차원의 게이지장이다.

이 경우, 작용은 다음과 같다.

$S=\int _{M_{3}}\left(\det e)(-{\frac {1}{4}}\operatorname {Ric} [e]-{\frac {1}{16}}\Delta ^{2}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\frac {1}{8}}\Delta ^{-2}\partial ^{\mu }\Delta \partial _{\mu }\Delta \right)$

여기서 물론 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 $g_{\mu \nu }=e_{\mu }{}^{\alpha }e_{\nu }{}^{\beta }\eta _{\alpha \beta }$에 의한 것이다. 이제, 게이지장을 다음과 같이 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 가우스 법칙

$\partial _{\mu }\left((\det e)\Delta ^{2}F^{\mu \nu }\right)=0$

은 다음과 같은 자기 퍼텐셜 스칼라장

$\partial _{\mu }B={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho }F_{\nu \rho }\Delta ^{2}$

으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다.

$S={\frac {1}{8}}\int _{M_{3}}(\det e){\frac {\partial ^{\mu }B\partial _{\mu }B+\partial ^{\mu }\Delta \partial _{\mu }\Delta }{\Delta ^{2}}}$

이는 $(B,\Delta )$에 대한 시그마 모형이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다.

물론, 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위와 같은 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

외부 링크

• “Kaluza-Klein mechanism”. 《nLab》 (영어).