준파라콤팩트 공간
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일반위상수학에서, 준파라콤팩트 공간(準-空間, 영어: subparacompact space)은 파라콤팩트 공간의 개념의 변형이다.
정의
[편집]위상 공간 의 집합족 에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.
- 만약 임의의 에 대하여, 인 근방 가 존재한다면, 를 이산 집합족(離散集合族, 영어: discrete family of sets)이라고 한다.
- 만약 임의의 에 대하여, 이 유한 집합인 근방 가 존재한다면, 를 국소 유한 집합족(局所有限集合族, 영어: locally finite family of sets)이라고 한다.
- 만약 임의의 에 대하여 이라면, 를 폐포 보존 집합족(閉包保存集合族, 영어: closure-preserving family of sets)이라고 한다.
모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.
만약 가 가산 개의 국소 유한 집합족들의 합집합이라면, 를 시그마 국소 유한 집합족(σ-, 영어: sigma-locally finite family)이라고 한다. 이 경우, 설령 가 덮개이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 덮개일 필요는 없다. 마찬가지로, 시그마 이산 집합족(σ-, 영어: sigma-discrete family)과 시그마 폐포 보존 집합족(σ-, 영어: sigma-closure-preserving finite family)을 정의할 수 있다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 준파라콤팩트 공간이라고 한다.
- 의 임의의 열린 덮개는 시그마 이산 닫힌 세분을 갖는다.
- 의 임의의 열린 덮개는 시그마 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
- 의 임의의 열린 덮개는 시그마 폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.
성질
[편집]- 파라콤팩트 공간이다.
- 모든 열린 덮개는 시그마 이산 열린 세분을 갖는다.
- 모든 열린 덮개는 시그마 국소 유한 열린 세분을 갖는다.[1]:146, Theorem 20.7.(b)
- 모든 열린 덮개는 시그마 폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
- 모든 열린 덮개는 국소 유한 세분을 갖는다. (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)[1]:146, Theorem 20.7.(c)
- 모든 열린 덮개는 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.[1]:146, Theorem 20.7.(d)
마지막 조건에 따라, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 (영어: Bing’s example H).
참고 문헌
[편집]외부 링크
[편집]- “Subparacompact space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Subparacompact”. 《Encyclopedia of Compactness Wiki》 (영어). 2024년 7월 22일에 확인함.
- “a-paracompact”. 《Encyclopedia of Compactness Wiki》 (영어). 2024년 7월 22일에 확인함.