이차 수체

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대수적 수론에서, 이차 수체(二次數體, 영어: quadratic field)는 차원이 2인 대수적 수체이다.

정의[편집]

이차 수체\mathbb Q(\sqrt d)의 꼴인 대수적 수체이다. 여기서 d+1이 아닌 (음 또는 양의) 제곱 인수가 없는 정수이다. 만약 d>0이면 \mathbb Q(\sqrt d)실수 이차 수체(實數二次數體, 영어: real quadratic field)라고 하고, d<0이면 복소 이차 수체(複素二次數體, 영어: complex quadratic field)라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수(二次整數, 영어: quadratic integer)라고 한다.

성질[편집]

정수환[편집]

이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)대수적 정수환은 다음과 같다.

\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}\mathbb Z+\frac12(1+\sqrt d)\mathbb Z&d\equiv1\pmod4\\\mathbb Z+\sqrt d\mathbb Z&d\not\equiv1\pmod4\end{cases}

판별식[편집]

이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)판별식은 다음과 같다.

\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d\equiv1\pmod4\\4d&d\not\equiv1\pmod4\end{cases}

이는 d\not\equiv1\pmod4인 경우에는

\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&\sqrt d\\1&-\sqrt d\end{pmatrix}\right)^2=4d

이지만, d\equiv1\pmod4인 경우에는

\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&(1+\sqrt d)/2\\1&(1-\sqrt d)/2\end{pmatrix}\right)^2=d

이기 때문이다.

사실, 판별식이 \Delta\equiv0,1\pmod4인 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt\Delta)의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt\Delta)}=\mathbb Z\left[\frac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right]
=\begin{cases}
\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt\Delta}2\right]&d=\Delta\equiv1\pmod4\\
\mathbb Z[\sqrt{\Delta/4}]&4d=\Delta\equiv0\pmod4
\end{cases}

보다 일반적으로, 임의의 제곱수가 아닌 \Delta\equiv0,1\pmod4에 대하여, \mathbb Z\left[\tfrac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right]는 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt\Delta) 속의, 판별식 \Delta 정환(영어: order)을 이룬다. 반대로, 이차 수체 속의, 판별식이 \Delta인 정환은 이것 밖에 없다.[1]:273, (2)

소수의 분기화[편집]

체의 확대 \mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q에서, 유리 소수 p\in\mathbb Z는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다.

유수[편집]

이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.

실수 이차 수체[편집]

유수가 h인 실수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt d)d들의 목록은 다음과 같다.

h OEIS 번호 d
1 OEISA3172 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, …
2 OEISA29702 10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, …
3 OEISA29703 79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, …
4 OEISA29704 82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, …
5 OEISA29705 401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …

허수 이차 수체[편집]

유수가 h인 허수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{-d})d들의 목록은 다음과 같다. 작은 d에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 h=1인 경우를 헤그너 수라고 한다.

h OEIS 번호 d
1 OEISA3173 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
2 OEISA5847 5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427
3 OEISA6203 23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907
4 OEISA46085 14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555
5 OEISA46002 47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683
6 OEISA55109 26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787

참고 문헌[편집]

  1. Bhargava, Manjul (2007). 〈Higher composition laws and applications〉. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006》 (PDF) (영어). European Mathematical Society. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]