함수해석학에서 수렴 수열 공간(收斂數列空間, 영어: space of convergent sequence)은 어떤 값으로 수렴하는 수열들로 구성된 바나흐 공간이다. 기호는 c.
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
수렴하는
-수열 (=코시 열)의 집합
![{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists \lim _{i\to \infty }a_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a66ecaa4f720844b40fe08aeb826027475c0312)
은 자연스럽게
-벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자.
![{\displaystyle \|a\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76749dc13b798c5d0d3bc6cdf6969383fadc8535)
그렇다면 이는
-바나흐 공간을 이룬다. 이를 수렴 수열 공간
라고 한다.
0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간
![{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )=\{a\in \operatorname {c} (\mathbb {K} )\colon \lim _{i\to \infty }a_{i}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73acc91bcccb2ead8c6ec460872e1f723a984a5c)
은
의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로
-바나흐 공간을 이룬다. 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, 영어: space of sequences converging to zero)
이라고 한다.[1]:69, Example III.1.3
와
는
-위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환이 존재하지만), 바나흐 공간으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환이 존재하지 않는다).
구체적으로, 이 전단사 연속
-선형 변환은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\to \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adaf10bbcf9e4571e90c57ddc509aad6dcae2eaf)
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\mapsto (\lim _{i}a_{i},a_{0}-\lim _{i}a_{i},a_{1}-\lim _{i}a_{i},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169c9057a7a5c78a6eebdde9a8217db14a042b9a)
분해 가능성[편집]
와
는 분해 가능
-바나흐 공간이다.
의 경우,
![{\displaystyle f=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall i\geq N\colon a_{i}=a\}\cap {\begin{cases}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\(\mathbb {Q} +\mathrm {i} \mathbb {Q} )^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0fb4fe37d20fddc6171aef9f6fa52eda6464f8)
는
속의 가산 조밀 집합을 이룬다.
는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간의 부분 집합은 분해 가능 공간이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로,
는
의 가산 조밀 집합을 이룬다.[1]:69, Example III.1.3
연속 쌍대 공간[편집]
의 연속 쌍대 공간과
의 연속 쌍대 공간은 둘 다 르베그 공간
과 동형이다.
의 경우 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1343675626d567b8b8bce7370f2a5d16e5fbafa9)
![{\displaystyle (x,y)\mapsto y_{0}\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\right)+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42e06a3bc03387a56129f8890596e3cf583c88e)
의 경우 이는 다음과 같다.[1]:73, Example III.2.3
![{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d19cc55828865158764c1a37fdd9399fe37e255)
![{\displaystyle (x,y)\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0cc7028ef4695ce5f78f5ac101f401e206ddd43)
의 쌍대 공간은 르베그 공간
이므로,
와
는 반사 바나흐 공간이 아니다.
포함 관계[편집]
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[1]:69, Example III.1.3
![{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{2}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{3}(\mathbb {K} )\subsetneq \cdots \subseteq \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{0}(\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2721d0d877e6880a7add248857213064a04e0c66)
여기서
는 르베그 공간이며,
이다. 물론,
라면
가 성립한다.
위 포함 관계들은
-선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).
![{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7531eec691fc1f9f27a012fa4233d5b2a11fea36)
샤우데르 기저[편집]
다음과 같은 수열들을 생각하자.
![{\displaystyle (e_{i})_{j}=\delta _{ij}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1e789f9ef54991b1eceb7416f3850902f7be4d)
![{\displaystyle e_{i}=(\overbrace {0,0,0,\ldots ,0} ^{i},1,0,0,\ldots )\qquad \forall i\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3963fa772d19875c09de1fb1040e80f3007d5413)
여기서
는 크로네커 델타이다.
그렇다면,
은
의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.[2]:Chapter 2
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]