세타 표현

수학에서, 세타 표현(θ表現, 영어: theta representation)은 하이젠베르크 군의, 정칙 함수의 공간 위의 특별한 표현이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 작용의 고정점은 야코비 세타 함수이다.^{:5–11, §Ⅰ.3}

정의

임의의 양의 실수 $t\in \mathbb {R} ^{+}$에 대하여, 복소평면 위에, 다음과 같은 측도를 정의하자.

$\mathrm {d} ^{2}\mu _{t}(z)=\exp \left(-2\pi t^{-1}(\operatorname {Im} z)^{2}\right)\,\mathrm {d} ^{2}z$

이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$\langle f|g\rangle =\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} ^{2}\mu (z)\,{\bar {f}}({\bar {z}})g(z)$

이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간을 ${\mathcal {H}}_{t}$라고 하자.

이제, 임의의 $\tau \in \mathbb {H} =\mathbb {R} ^{+}+\mathrm {i} \mathbb {R}$에 대하여, ${\mathcal {H}}_{\operatorname {Im} \tau }$ 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.^:6

$(S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial )f(z)$

$(T_{a}f)(z)=\exp(\mathrm {i} \pi a^{2}\tau +2\pi \mathrm {i} bz)f(z+b\tau )=\exp(\mathrm {i} \pi b^{2}\tau +2\pi \mathrm {i} bz)S_{b\tau }f=\exp(2\pi \mathrm {i} bz+b\tau \partial )f$

$(C_{a})f(z)=\exp(2\pi \mathrm {i} a)f(z)$

이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다.

$S_{a}S_{b}=S_{a+b}$

$T_{a}T_{b}=T_{a+b}$

$S_{a}T_{b}=C_{ab}T_{b}S_{a}$

물론, $C$는 $S$ 및 $T$와 교환한다. 특히, 만약 $a,b\in \mathbb {Z}$일 때 $S_{a}T_{b}=T_{b}S_{a}$가 된다.

이에 따라, 집합

$G_{\tau }=\{S_{a}T_{b}C_{c}\colon a,b,c\in \mathbb {R} \}$

는 군을 이룬다.

$S_{a}T_{b}C_{c}S_{a'}T_{b'}C_{c'}=S_{a+a'}T_{b+b'}C_{a'b+c+c'}$

이 군은 $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$와 미분 동형이며, 그 범피복군은 하이젠베르크 군 $\operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )$이다. 즉, 이는 ${\mathcal {H}}_{\operatorname {Im} \tau }$ 위의, 하이젠베르크 군의 표현을 정의한다. 이를 세타 표현이라고 한다.

성질

임의의 $\tau \in \mathbb {R} +\mathrm {i} \mathbb {R} ^{+}$의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현과 유니터리 동치이다.

$G_{\tau }$는 다음과 같은 부분군을 갖는다.

$\Gamma _{\tau }=\{S_{a}T_{b}\colon a,b\in \mathbb {Z} \}\leq G_{\tau }$

이는 물론 $S_{1}$과 $T_{1}$으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다.

$\Gamma _{\tau }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$

이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.

${\begin{matrix}\Gamma _{\tau }&\to &G_{\tau }\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Heis} (3;\mathbb {Z} )&\to &\operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )\end{matrix}}$

$\Gamma _{\tau }$의 작용의 고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수

$\vartheta (z;\tau )$

이다.

역사

데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.^{:5–11, §Ⅰ.3}