사용자:Ssm06073/로그 적분 함수

로그 적분 함수(영어: Logarithmic Integral Function)은 함수의 일종이다. 비초등함수의 일종이기도 하다.

로그 적분 함수의 그래프

정의

로그 적분 함수는 정적분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

${\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\;$

혹은 다음과 같은 정의를 쓰기도 한다.

${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\;$

여기서 ${\ln }\;$은 자연로그를 의미한다.

급수

로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계에 놓여있다.

${\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x)\,\!$

이 식은 x > 0에서 성립한다. 이 식은 지수 적분 함수의 급수로

${\rm {li}}(e^{t})={\hbox{Ei}}(t)=\gamma +\ln |t|+\sum _{k=1}^{\infty }{t^{n} \over k\cdot k!}(t\neq 0)\;$

이므로

${\rm {li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{(\ln x)^{n} \over k\cdot k!}(x\neq 1)\;$

로 표현할 수 있다.

라마누잔이 만든 더 빠르게 수렴하는 급수로는

${\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

이 있다.

여기서 $\gamma$ ≈ 0.57721 56649 01532 ... 은 오일러-마스케로니 상수이다.

점근적 표기

x → ∞에서의 li(x)의 행동은 다음과 같다.

${\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;$

여기서 $O$는 점근 표기법을 의미한다.

소수와의 관계

로그 적분 함수는 수론에서 매우 중요한데 왜냐하면 어떤 수 이하의 소수의 개수를 어림하는데 쓰이기 때문이다. 즉, 소수 정리는 다음을 보장한다.

$\pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)$

여기서의 $\pi (x)$은 소수계량함수이다. 실제로 계산해 보면 작은 범위 안에서는 $Li(x)$가 $\pi (x)$보다 약간 더 큰 것 처럼 보이지만 실제로는 스큐스 수에서 $\pi (x)$가 $Li(x)$보다 더 커지고 이후에는 무한히 순서가 바뀐다는 것이 알려져 있다.

같이 보기

• 스큐스 수

• 소수계량함수

• 지수 적분 함수

• 소수 정리

• 라마누잔-솔드너 상수