사용자:Kobmuiv/재규격화군

 

이론 물리학에서 재규격화군이라는 용어는 다양한 규모에서 볼 때 물리적 계의 변화를 체계적으로 조사할 수 있는 공식적인 장치를 의미한다. 재규격화군은 일반적으로 군은 아니고 모노이드이나, 관습적으로 군이라고 부르고 있다. 입자 물리학에서는 물리적 과정이 발생하는 에너지 규모가 다양하고, 에너지/운동량 및 분해능 거리 규모가 불확정성 원리에 따라 효과적으로 공액화됨에 따라 기본 힘 법칙(양자장론으로 코드화됨)의 변화를 반영한다.

규모의 변화를 규모 변환이라고 한다. 재규격화군은 계가 모든 규모에서 동일하게 나타나는 대칭성(자기 유사성)인 척도 불변 및 등각 불변 과 밀접하게 관련되어 있다.

규모가 다양해짐에 따라 계를 관찰하는 개념적 현미경의 배율이 바뀌는 것과 같다. 소위 재규격화 가능 이론에서, 한 규모의 계는 일반적으로 더 작은 규모로 볼 때 계의 구성요소를 설명하는 다양한 매개변수를 갖는 자체 유사 복사본으로 구성된다. 구성 원소 또는 기본 변수는 원자, 기본 입자, 원자 스핀 등과 관련될 수 있다. 이론의 매개변수는 일반적으로 구성 원소의 상호 작용을 설명한다. 이는 다양한 힘의 강도 또는 질량 매개변수 자체를 측정하는 가변 커플링일 수 있다. 더 짧은 거리로 갈수록 구성 원소 자체는 동일한 구성 원소로 더 많이 구성된 것처럼 보일 수 있다.

예를 들어, 양자 전기 역학에서 전자는 아주 짧은 거리에서 더 높은 해상도로 볼 때 전자와 양전자 쌍 및 광자로 구성된 것처럼 보이다. 이러한 짧은 거리에 있는 전자는 먼 거리에서 볼 수 있는 옷을 입은 전자 와 약간 다른 전하를 가지며, 전하 값의 이러한 변화 또는 러닝은 재규격화군 방정식에 의해 결정된다.

역사

규모 변환과 규모 불변성에 대한 아이디어는 물리학에서 오래된 것이다. 규모 논증은 피타고라스 학파인 유클리드와 갈릴레오 까지에서 흔한 일이었다. 19세기 말에 다시 인기를 얻었다. 아마도 첫 번째 예는 난류를 설명하는 방법으로 오스본 레이놀즈의 점도가 향상되었다는 아이디어일 것이다.

재규격화 군은 처음에는 입자 물리학에서 고안되었지만 현재는 그 응용 분야가 고체 물리학, 유체 역학, 물리 우주론, 심지어 나노기술까지 확장된다. 1953년 에른스트 슈튀켈베르크와 앙드레 피터만의 초기 논문에서 양자장론에서의 아이디어를 예상하고 있다. 슈튀켈베르크과 피터만은 개념적으로 이 분야를 열었다. 그들은 재규격화가 기본 항에서 반대 항으로 수량을 이동시키는 일련의 변환을 나타낸다는 점에 주목했다. 그들은 양자 전기 역학에 함수 $h(e)$를 도입했는데, 이는 현재 베타 함수라고 불린다(아래 참조).

시작

머레이 겔만과 프란시스 로우는 1954년 양자 전기 역학에서 물리적으로 가장 중요한 변환 규모에 대한 아이디어를 제한하고 높은 에너지에서 광자 전파자의 점근적 형태에 초점을 맞췄다. 그들은 이론의 규모 구조의 단순성을 인식함으로써 양자 전기 역학에서 전자기 결합의 변화를 결정했다. 따라서 그들은 에너지 규모 $\mu$에서 결합 매개변수 $g(\mu )$가 (1차원 이동) 군 방정식에 의해 효과적으로 제공된다는 것을 발견했다.

$g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

또는 동등하게, 어떤 함수 $G$(지정되지 않음-현재는 베그너의 스케일링 함수라고 함)와 상수 $d$에 대해 기준 규모 $M$에서 결합 $g(M)$의 관점에서, $G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}$.

겔만과 로우는 이러한 결과를 통해 유효 척도를 임의로 $\mu$로 취할 수 있으며 다른 척도에서 이론을 정의하기 위해 다양할 수 있음을 깨달았다.

$g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

재규격화군의 요점은 이 군 성질이다. 척도 $\mu$가 변함에 따라 이론은 자체 유사 복제를 제시하며 모든 척도는 다른 척도와 유사하게 군 작용에 의해, 수학적 의미에서결합의 형식적 추이적 켤레에 의해 접근될 수 있다(슈뢰더 방정식).

이 (유한) 군 방정식과 그 스케일링 속성을 기반으로 겔만과 로우는 무한소 변환에 집중할 수 있었고 수학적 흐름 함수 ψ(g) = G d/(∂G/∂g) 그들이 도입한 결합 매개변수 $g$의 값이다. 슈튀켈베르크 및 피터만의 함수 $h(e)$와 마찬가지로 해당 함수는 미분 방정식인 재규격화 군 방정식을 통해 에너지 규모 $\mu$의 작은 변화에 대한 결합 $g(\mu )$의 미분 변화를 결정한다.

$\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)$

1970년에 커티스 캘런과 쿠르트 쥐만치크가 도입한 현대적인 이름인 베타 함수도 표시된다 이는 $g$의 단순한 함수이기 때문에, 섭동 추정치의 $g$에 대한 적분은 결합의 재규격화 궤적, 즉 에너지에 따른 변화를 지정하는 것을 허용하며, 효과적으로 이 섭동 근사에서 함수 $G$를 허용한다. 재규격화 군 예측(참조: 슈튀켈베르크-피터만 및 겔만-로우 연구)이 확인되었다. 몇 년 후 표준 저에너지 물리학에서의 값 1⁄137과 달리, 대형 전자-양전자 충돌기 실험에서 200 GeV에 가까운 에너지에서 양자 전기 역학의 미세 구조 "상수"가 1⁄127로 측정되었다.

더 깊은 이해

재규격화군은 일반적으로 양자장론의 무한대 문제를 해결해야 하는 양자장 변수의 재규격화에서 나타난다. 유한한 물리량을 얻기 위해 양자장론의 무한성을 체계적으로 처리하는 이 문제는 이러한 공헌으로 1965년 노벨상을 받은 리처드 파인만, 줄리언 슈윙거 및 도모나가 신이치로에 의해 양자 전기 역학에 대해 해결되었다. 그들은 운동량 척도의 무한대가 초대형 조절자 $\Lambda$에 의해 차단 되는 질량 및 전하 재규격화 이론을 효과적으로 고안했다.

전하 또는 전자 질량과 같은 물리량의 척도 $\Lambda$에 대한 의존성은 숨겨지고 물리량이 측정되는 장거리 척도로 효과적으로 교환되며 결과적으로 관측 가능한 모든 양은 다음과 같이 된다. 대신 무한한 $\Lambda$에 대해서도 유한하다. 겔만과 로우는 이러한 결과를 통해 $\Psi (g)$가 주어진 위의 재규격화군 방정식에 의해 $g$의 작은 변화가 극소적으로 제공되는 반면 자기 유사성은 $\Psi (g)$가 명시적으로만 의존한다는 사실로 표현된다는 것을 깨달았다. 척도 $\mu$가 아닌 이론의 매개변수에 따라 결정된다. 결과적으로, 위의 재규격화 군 방정식은 ($G$에 대해, 따라서) $g(\mu )$에 대해 풀릴 수 있다.

기존의 재규격화 이론의 확장 군을 뛰어넘어 재규격화 과정의 물리적 의미와 일반화에 대한 더 깊은 이해를 통해 광범위하게 다른 길이 척도가 동시에 나타나는 방법을 고려한다. 이는 응집 물질 물리학에서 유래했다. 1966년 리오 카다노프의 논문은 "블록 스핀" 재규격화 군을 제안했다. "차단 아이디어"는 먼 거리의 이론 구성 원소를 더 짧은 거리의 구성 원소 집합으로 정의하는 방법이다.

이 접근 방식은 개념적 요점을 다루었으며 케네스 윌슨의 광범위하고 중요한 기여에 완전한 계산적 실체가 부여되었다. 윌슨의 아이디어의 힘은 1975년에 오랫동안 지속되어 온 문제인 콘도 문제의 구성적인 반복 재규격화 해와 2차 상전이 이론과 1971년의 임계 현상에서 그의 새로운 방법의 획기적인 발전을 통해 입증되었다. 그는 이러한 결정적인 공헌으로 1982년에 노벨상을 수상했다.

재구성

한편 입자 물리학의 재규격화군은 1970년 캘런과 쥐만치크에 의해 보다 실용적인 용어로 재구성되었다. 규모에 따른 "결합의 주행" 매개변수를 설명하는 위의 베타 함수는 장론에서 규모(팽창) 대칭의 양자 역학적 파괴를 나타내는 "표준 대각합 변칙"에 해당하는 것으로 밝혀졌다. 입자 물리학에 대한 재규격화군의 응용은 1970년대 표준 모형의 확립과 함께 폭발적으로 증가했다.

1973년에 양자 색역학이라고 불리는 유색 쿼크의 상호 작용 이론이 음의 베타 함수를 갖는다는 사실이 발견되었다. 이는 결합의 초기 고에너지 값이 결합이 터지는(발산하는) 특별한 값인 $\mu$를 초래한다는 것을 의미한다. 이 특별한 값은 강한 상호 작용의 척도인 $\mu =\Lambda _{\text{QCD}}$이며 약 $200{\text{MeV}}$에서 발생한다. 반대로, 결합은 매우 높은 에너지(점근 자유성)에서 약해지고, 쿼크는 파인만-비요르켄 스케일링에 의해 예상되는 깊은 비탄성 산란에서 점 모양의 입자로 관찰될 수 있게 된다. 이로써 양자 색역학은 입자의 강한 상호작용을 제어하는 양자장론으로 확립되었다.

모멘텀 공간 재규격화군은 고체 물리학에서 고도로 개발된 도구가 되었지만 섭동 이론의 광범위한 사용으로 인해 방해를 받았고 이로 인해 이론이 강한 상관 관계를 가진 계에서 성공하지 못했다.

등각 대칭

등각 대칭은 베타 함수가 사라지는 것과 관련이 있다. 이는 결합 상수가 $\beta (g)=0$인 고정점을 향해 끌리면 자연스럽게 발생할 수 있다. 양자 색역학에서 고정점은 $g\rightarrow 0$인 짧은 거리에서 발생하며 ( 자명한 ) 자외 고정점이라고 한다. 꼭대기 쿼크와 같은 무거운 쿼크의 경우 질량을 제공하는 힉스 보손과의 결합은 펜들턴& 로스(1981) 및 힐이 처음 예측한 고정된 0이 아닌(자명하지 않은) 적외 고정점을 향해 진행된다. 꼭대기 쿼크 유카와 결합은 표준 모형의 적외 고정점보다 약간 아래에 위치하며 연속 무거운 힉스 보손과 같은 추가적인 새로운 물리학의 가능성을 시사한다.

끈 이론에서 끈 세계면의 등각 불변성은 기본적인 대칭이다. 즉, $\beta =0$이 요구 사항이다. 여기서 $\beta$는 끈이 움직이는 시공간 기하학의 함수이다. 이것은 끈 이론의 시공간 차원을 결정하고 기하학에 대한 아인슈타인의 일반 상대성 이론 방정식을 강화한다. 재규격화군는 끈이론과 대통일 이론에 근본적으로 중요한다.

이는 또한 응집물질 물리학의 임계 현상을 뒷받침하는 현대의 핵심 아이디어이기도 한다. 실제로 재규격화군은 현대 물리학의 가장 중요한 도구 중 하나가 되었다. 몬테카를로 방법과 결합하여 사용되는 경우가 많다.

블록 스핀

이 절에서는 가장 이해하기 쉬운 재규격화군의 그림을 교육학적으로 소개한다. 즉, 1966년 리오 카다노프가 고안한 블록 스핀 재규격화군이다

그림과 같이 완전한 정사각형 배열의 원자 집합인 2차원 고체를 생각해 보세요.

원자는 가장 가까운 이웃과만 상호작용하고 계은 주어진 온도 $T$에 있다고 가정한다. 상호작용의 강도는 특정 결합 $J$에 의해 정량화된다. 계의 물리학은 특정 공식, 즉 해밀토니안 $H(T,J)$로 설명된다.

이제 고체를 2×2 사각형들의 블록으로 나눈다; 우리는 블록 변수, 즉 블록의 평균 작용을 설명하는 변수의 관점에서 계을 설명하려고 시도한다. 또한 우연의 일치로 블록 변수의 물리학은 같은 종류의 공식으로 설명되지만 $T$ 와 $J$에 대해 다른 값을 사용한다고 가정한다. $H(T',J')$. (이것은 일반적으로 정확히 사실은 아니지만 종종 좋은 첫 번째 근사치이다.)

아마도 초기 문제는 원자가 너무 많아서 해결하기가 너무 어려웠을 것이다. 이제 재규격화된 문제에는 그 중 4분의 1만 있다. 그런데 왜 지금 멈추는가? 같은 종류의 또 다른 반복은 $H(T'',J'')$로 이어지며 원자의 16분의 1만 생성된다. 우리는 각 재규격화군 단계마다 관측 규모를 늘리고 있다.

물론 가장 좋은 아이디어는 매우 큰 블록이 하나만 남을 때까지 반복하는 것이다. 실제 물질 샘플의 원자 수는 매우 크기 때문에 이는 $(T,J)\rightarrow (T',J')$및 $(T',J')\rightarrow (T'',J'')$를 취하는 재규격화군 변환의 장거리 작용을 찾는 것과 거의 동일하다. 종종 여러 번 반복하면 이 재규격화군 변환이 특정 수의 고정점으로 이어진다.

좀 더 구체적으로 말하자면, $J$ 결합이 이웃 스핀의 평행 경향을 나타내는 자기 계(예: 이징 모형)을 고려하자. 계의 구성은 질서 $J$ 항과 온도의 무질서 효과 사이의 균형의 결과이다.

이러한 종류의 많은 모델에는 세 가지 고정점이 있다.

1. $T=0$와 $J\rightarrow \infty$. 이는, 가장 큰 크기에서, 온도가 중요하지 않게 된다. 즉, disordering factor가 0이 된다. 이는, 큰 규모에서, 계가 정돈된 것처럼 보인다. 이는 강자성 페이즈이다.
2. $T\rightarrow \infty$와 $J\rightarrow 0$. 정확히 반대이다; 여기서는, 온도가 지배적이고, 계는 큰 규모에서 정돈되어있지 않다.
3. 이들 사이의 비자명 점, $T=T_{c}$와 $J=J_{c}$. 이 점에서, 계가 프랙탈 상태에 있기 때문에, 규모를 바꾸어도 물리학이 바뀌지 않는다. 이는 퀴리 상전이에 해당하고, 임계점이라 불린다.

따라서 주어진 T 및 $J$ 값을 갖는 특정 재료가 주어지면 계의 대규모 작용을 알아내기 위해 해야 할 일은 해당 고정점을 찾을 때까지 쌍을 반복하는 것이다.

초등이론

좀 더 기술적인 용어로, 상태 변수 $\{s_{i}\}$를 갖는 어떤 함수 $Z$와 특정 결합 상수 집합 $\{J_{k}\}$으로 설명되는 이론이 있다고 가정해 보겠다. 이 함수는 분할 함수, 작용, 해밀턴토니언 등이 될 수 있다. 계의 물리학에 대한 전체 설명을 포함해야 한다.

이제 상태 변수의 특정 차단 변환 $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$을 고려한다. ${\tilde {s}}_{i}$의 수는 $s_{i}$의 수보다 적어야 한다. 이제 ${\tilde {s}}_{i}$만을 가지고 함수 $Z$를 다시 쓰자. 매개변수의 특정 변환 $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$으로 이것이 달성 가능한 경우, 이 이론은 재규격화 가능하다고 한다.

양자 전기 역학, 양자 색역학, 전기-약 작용(중력 제외)과 같은 물리학의 대부분의 기본 이론은 정확하게 재규격화 가능한다. 또한 응집 물질 물리학의 대부분의 이론은 초전도성에서 유체 난류에 이르기까지 대략적으로 재규격화 가능하다.

매개변수의 변경은 특정 베타 함수 $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$에 의해 구현된다. 이는 $J$-공간에서 재규격화 군 흐름 (또는 재규격화군 흐름 )을 유도한다고 한다. 이 흐름 아래에서 $J$의 값은 주행 결합이라고 한다.

이전 절에서 설명한 것처럼 재규격화군 흐름에서 가장 중요한 정보는 고정점이다. 대규모로 계의 가능한 거시적 상태는 이 고정점 집합에 의해 제공된다. 만약 이러한 고정점이 자유장론에 해당한다면, 그 이론은 양자 전기 역학에서와 같이 란다우 극이라고 불리는 것을 소유하는 양자 자명성을 나타낸다고 한다. $\phi ^{4}$-상호작용의 경우, 마이클 아이젠만은 시공간 차원 D ≥ 5에 대해 이 이론이 실제로 자명한 것임을 증명했다. D = 4의 경우 자명성은 아직 엄격하게 입증되지 않았지만 격자 계산은 이에 대한 강력한 증거를 제공했다. 점근적 안전 시나리오에서 힉스 보손 질량과 같은 매개변수를 제한하거나 예측하는 데 양자 자명성을 사용할 수 있으므로 이 사실은 중요하다. 격자 힉스 이론 연구에는 수많은 고정점이 나타나지만, 이들과 관련된 양자장론의 본질은 여전히 미해결 문제로 남아 있다.

이러한 계의 재규격화군 변환은 손실이 있기 때문에(예: 변수 수가 감소한다. 다른 맥락의 예인 손실 데이터 압축 참조) 주어진 재규격화군 변환에 대한 역변환이 필요하지 않다. 따라서 이러한 손실 계에서 재규격화 군은 사실상 반군이다. 손실이 있다는 것은 각 원소에 대한 유일한 역이 없다는 것을 의미하기 때문이다.

관련성 및 관련성 없는 연산자 및 보편성 클래스

재규격화군 변환을 겪고 있는 물리적 계의 특정 관측가능량 $A$를 고려하자. 계의 길이 척도가 작은 것에서 큰 것으로 변함에 따라 관찰 가능한 것의 크기는 스케일링 법칙에 대한 관찰 가능한 것의 중요성을 결정한다.

규모가...라면	관측가능량은 ...
항상 증가	관련 있는
항상 감소	관련 없는
다른	가장자리 가의

계의 거시적 작용을 설명하려면 관련 관측가능량이 필요한다. 관련 없는 관측가능량은 필요하지 않다. 한계 관측 가능 항목을 고려할 수도 있고 고려하지 않을 수도 있다. 주목할 만한 광범위한 사실은 대부분의 관측 가능 항목이 관련성이 없다는 것이다. 즉, 거시적 물리학은 대부분의 계에서 단지 소수의 관측 가능 항목에 의해서만 지배된다 .

예를 들어, 미시 물리학에서 1몰의 탄소-12 원자로 구성된 계을 설명하려면 10²³(아보가드로 수) 변수 정도가 필요한 반면, 이를 거시적 계(탄소-12 12g) 단지 몇 개만 필요하다.

윌슨의 재규격화군 접근법 이전에는 다음과 같이 설명할 수 있는 놀라운 경험적 사실이 있었다. 자기 계과 같은 매우 이질적인 현상에서 임계 지수 (즉, 2차 상전이 근처의 여러 수량의 감소된 온도 의존성의 지수)의 일치, 초유체 전이(람다 전이), 합금 물리학 등. 따라서 일반적으로 상전이 근처 계의 열역학적 특성은 차원 및 대칭과 같은 적은 수의 변수들에만 의존하지만 계의 미시적인 특성의 세부 사항에는 둔감하다.

보편성이라고 불리는 표면적으로 상당히 다른 물리적 계에 대한 임계 지수의 일치는 재규격화 군을 사용하여 개별 미세 구성 원소 간의 현상의 차이가 관련 없는 관측 항목 에 의해 결정되는 반면 관련 관측 항목은 공유된다는 것을 입증함으로써 쉽게 설명된다. 흔한. 따라서 많은 거시적 현상은 관련 관측가능량의 공유 집합에 의해 지정되는 작은 보편 클래스 집합으로 군화될 수 있다.

모멘텀 공간

실제로 재규격화 군에는 두 가지 주요 "방향"이 있다. 위에서 설명한 카다노프 그림은 주로 소위 현실공간 재규격화군을 가리킨다.

반면에 모멘텀 공간 재규격화군은 상대적으로 미묘함에도 불구하고 더 긴 역사를 가지고 있다. 이는 주어진 장의 푸리에 모드 측면에서 자유도를 캐스팅할 수 있는 계에 사용될 수 있다. 재규격화군 변환은 특정 높은 운동량(대파수) 모드 집합를 통합하여 진행된다. 큰 파수는 짧은 길이의 규모과 관련되어 있으므로 운동량 공간 재규격화군는 실제 공간 재규격화군와 본질적으로 유사한 거친 입자 효과를 나타낸다.

운동량 공간 재규격화군은 일반적으로 섭동 전개에서 수행된다. 그러한 확장의 타당성은 계의 실제 물리학이 자유장 계의 물리적 특성에 가깝다는 사실에 근거한다. 이 경우 확장의 주요 항을 합산하여 관측가능량을 계산할 수 있다. 이 접근 방식은 대부분의 입자 물리학을 포함한 많은 이론에서 성공적인 것으로 입증되었지만 물리학이 자유 계와 매우 거리가 먼 계, 즉 강한 상관 관계가 있는 계에서는 실패한다.

입자 물리학에서 재규격화군의 물리적 의미에 대한 예로 양자 전기 역학 (양자 전기 역학)의 전하 재규격화 개요 를 고려해보세요. 특정 실제(또는 순수 ) 크기의 점 양전하가 있다고 가정한다. 주변의 전자기장은 특정 에너지를 가지므로 가상 전자-양전자 쌍(예를 들어)을 생성할 수 있다. 가상 입자는 매우 빠르게 소멸되지만 수명이 짧은 동안 전자는 전하를 끌어당기고 양전자는 밀어낸다. 이는 전기장이 충분히 강한 점전하 근처의 모든 곳에서 균일하게 발생하기 때문에 이 쌍은 멀리서 볼 때 전하 주위에 스크린을 효과적으로 생성한다. 측정된 전하의 강도는 측정 프로브가 점 전하에 얼마나 가까이 접근할 수 있는지에 따라 달라지며, 가까워질수록 가상 입자 화면을 더 많이 우회한다. 따라서 거리 척도에 대한 특정 결합 상수(여기서는 전하)의 의존성이 있다 .

드 브로이 관계식에 따르면 운동량과 길이 척도는 반비례한다. 도달할 수 있는 에너지 또는 운동량 척도가 높을수록 조사하고 해결할 수 있는 길이 척도는 낮아진다. 따라서 운동량 공간 재규격화군을 다루는 사람들은 때때로 자신의 이론에서 높은 운동량이나 높은 에너지를 적분 한다고 주장한다.

정확한 재규격화 군 방정식

윌슨 정확한 재규격화 군 방정식은 개념적으로는 가장 단순하지만 구현이 사실상 불가능하다. 유클리드 공간으로 윅 회전한 후 푸리에 변환가 운동량 공간으로 변환된다. 유일한 자유도는 $\Lambda$ 보다 작은 운동량을 갖는 자유도가 되도록 엄격한 운동량 차단 $p^{2}\leq \Lambda ^{2}$을 고집한다. 분배 함수는

$Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

$\Lambda$보다 작은 임의의 양의 $\Lambda '$에 대해 S_Λ'(푸리에 변환이 $p^{2}\leq \Lambda '^{2}$ 내에서 운동량 지원을 갖는 $\phi$ 구성에 대한 함수)를 다음과 같이 정의한다.

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

$S_{\Lambda }$는 $\phi$에만 의존하고 $\phi$의 도함수에는 의존하지 않는 경우 이는 다음과 같이 다시 작성될 수 있다.

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],$

여기서는 $\Lambda '$와 $\Lambda$ 사이의 지원을 갖는 함수 $\phi$만이 통합되므로 왼쪽은 여전히 해당 범위 밖의 지원을 갖는 $\phi$에 의존할 수 있다는 것이 분명해진다. 확실히,

$Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].$

실제로 이 변환은 전이적이다. $S_{\Lambda }$에서 $S_{\Lambda '}$계산한 다음 $S_{\Lambda ''}$에서 $S_{\Lambda ''}$ 계산하면 $S_{\Lambda }$에서 직접 $S_{\Lambda ''}$계산하는 것과 동일한 윌슨 작용이 제공된다.

폴친스키 정확한 재규격화 군 방정식에는 매끄러운 자외 조절자 차단이 포함된다. 기본적으로 이 아이디어는 윌슨 정확한 재규격화 군 방정식에 비해 개선된 것이다. 날카로운 모멘텀 차단 대신 매끄러운 차단를 사용한다. 본질적으로 우리는 $\Lambda$ 보다 큰 모멘텀의 기여를 크게 억제한다. 그러나 차단의 매끄러움을 통해 차단 규모 $\Lambda$에서 함수 미분 방정식을 유도할 수 있다. 윌슨의 접근 방식에서와 같이 각 차단 에너지 규모 $\Lambda$에 대해 서로 다른 작용 기능을 갖다. 이러한 각 작업은 정확히 동일한 모델을 설명해야 하며 이는 해당 분배 함수가 정확히 일치해야 함을 의미한다.

즉, (실제 스칼라 장의 경우 다른 장에 대한 일반화가 분명함)

$Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)$

그리고 $Z_{\Lambda }$는 실제로 $\Lambda$와 독립적이다! 여기서는 축약된 드윗 표기법을 사용했다. 우리는 또한 순수 작용 $S_{\Lambda }$를 2차 운동 부분과 상호 작용 부분 $S_{{\text{int}}\Lambda }$로 분할했다. 이 분할은 확실히 깨끗하지 않다. "상호작용" 부분에는 2차 운동항도 포함될 수 있다. 실제로 파동 함수 재규격화가 있다면 가장 확실하게 그럴 것이다. 이는 장 크기 조정을 도입하여 다소 줄일 수 있다. $R_{\Lambda }$는 운동량 $p$의 함수이고 지수의 두 번째 항은 다음과 같다.

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)$

확장했을 때.

$p\ll \Lambda$일 때, $R_{\Lambda }(p)/p^{2}$는 본질적으로 1이다. $p\gg \Lambda$일 때, $R_{\Lambda }(p)/p^{2}$는 매우 매우 거대해지고 무한대에 가까워진다. 항상 1보다 크거나 같고 매끄럽다. 기본적으로 이는 차단 $\Lambda$ 보다 작은 운동량의 변동은 영향을 받지 않지만 차단보다 큰 운동량의 변동으로 인한 기여는 크게 억제한다. 이는 분명히 윌슨에 비해 엄청난 발전이다.

조건은

${\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0$

(그러나 그뿐만 아니라)에 의해 만족될 수 있다.

${\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].$

자크 디슬러는 이 정확한 재규격화 군 방정식가 섭동적으로 정확하지 않다는 증거 없이 주장했다.

유효 평균 작용 정확한 재규격화 군 방정식에는 원활한 적외 조정기 차단이 포함된다. 아이디어는 적외 규모 k 까지 모든 변동을 고려하는 것이다. 유효 평균 작용은 k 보다 큰 운동량의 변동에 대해 정확하다. 매개변수 k가 낮아지면 유효 평균 작용은 모든 양자 및 고전적 변동을 포함하는 유효 작용 에 접근한다. 대조적으로, 큰 k 의 경우 유효 평균 조치는 "기본 조치"에 가깝다. 따라서 유효 평균 작용은 "기본 작용"과 유효 작용 사이를 보간한다.

실제 스칼라 장의 경우 적외 차단를 추가한다.

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)$

여기서 $R_{k}$은 $k$와 $p$ 모두의 함수이므로 S과 같다 . $p\gg k$, $R_{k}(p)$는 매우 작으며 0에 접근하고 $p\ll k$, $R_{k}(p)\gtrsim k^{2}$. $R_{k}$는 매끄럽고 음수가 아니다. 작은 운동량에 대한 큰 값은 분할 함수에 대한 기여를 억제하게 되는데 이는 대규모 변동을 무시하는 것과 사실상 동일하다.

축약된 드윗 표기법을 사용할 수 있다.

${\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi$

이 적외 레귤레이터의 경우.

$R_{k}$의 선택이 무한히 많기 때문에 보간 정확한 재규격화 군 방정식도 무한히 많다. 척수장과 같은 다른 분야로의 일반화는 간단한다.

$\exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)$

$\phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]$

$J_{k}[\phi ]$를 제공하기 위해 반전될 수 있으며 유효 평균 작용 $\Gamma _{k}$를 다음과 같이 정의한다.

$\Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .$

따라서,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}$

따라서

${\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]$

Wetterich 방정식이라고도 알려진 ERGE입니다. Morris가 보여준 것처럼 유효 동작 $\Gamma _{k}$는 실제로 단순히 Legendre 변환 관계를 통해 Polchinski의 유효 동작 S _int 와 관련됩니다.

$R_{k}$의 선택이 무한히 많기 때문에 보간 ERGE도 무한히 많습니다. 척수장과 같은 다른 분야로의 일반화는 간단합니다.

Polchinski ERGE와 유효 평균 동작 ERGE는 비슷해 보이지만 매우 다른 철학을 기반으로 합니다. 효과적인 평균 동작 ERGE에서 기본 동작은 변경되지 않은 채로 유지되지만(UV 컷오프 스케일(있는 경우)도 변경되지 않음) 효과적인 동작에 대한 IR 기여는 억제되는 반면 Polchinski ERGE에서는 QFT가 고정됩니다. 단번에 "기본 동작"은 미리 지정된 모델을 재현하기 위해 다양한 에너지 규모에서 다양합니다. Polchinski의 버전은 확실히 Wilson의 아이디어에 훨씬 더 가깝습니다. 하나는 "기본 동작"을 사용하는 반면 다른 하나는 효과적인(평균) 동작을 사용한다는 점에 유의하세요.

유효 퍼텐셜의 재규격화 군 개선

재규격화 군은 1-루프보다 높은 차수의 유효 전위를 계산하는 데에도 사용할 수 있다. 이러한 종류의 접근 방식은 콜먼–와인버그 메커니즘에 대한 수정을 계산하는 데 특히 흥미롭다. 그렇게 하려면 유효 퍼텐셜 측면에서 재규격화 군 방정식을 작성해야 한다. $\phi ^{4}$ 모델의 경우에는:

$\left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.$

유효 퍼텐셜을 결정하려면 $V_{\text{eff}}$을

$V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )}$

로 적는 것이 유용하다. 여기서 $S_{\text{eff}}$는 $L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}$의 멱급수이다:

$S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .$

위의 가설 풀이를 사용하면 재규격화 군 방정식을 섭동적으로 풀 수 있고 원하는 차수까지 유효 퍼텐셜을 찾을 수 있다. 이 기술에 대한 교육학적 설명은 참고 자료에 나와 있다.

같이보기

• Quantum triviality
• Scale invariance
• Schröder's equation
• Regularization (physics)
• Density matrix renormalization group
• Functional renormalization group
• Critical phenomena
• Universality (dynamical systems)
• C-theorem
• History of quantum field theory
• Top quark
• Asymptotic safety

참고문헌

역사적 참고문헌

• Fisher, Michael (1974). “The renormalization group in the theory of critical behavior”. 《Rev. Mod. Phys.》 46 (4): 597. Bibcode:1974RvMP...46..597F. doi:10.1103/RevModPhys.46.597. 

교육학적 및 역사적 검토

• White, S.R. (1992). “Density matrix formulation for quantum renormalization groups”. 《Phys. Rev. Lett.》 69 (19): 2863–2866. Bibcode:1992PhRvL..69.2863W. doi:10.1103/PhysRevLett.69.2863. PMID 10046608.  The most successful variational RG method.
• Goldenfeld, N. (1993). 《Lectures on phase transitions and the renormalization group》. Addison-Wesley. 
• Shirkov, Dmitry V. (1999). “Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group”. arXiv:hep-th/9909024. Bibcode:1999hep.th....9024S.  A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
• Delamotte, B. (February 2004). “A hint of renormalization”. 《American Journal of Physics》 72 (2): 170–184. arXiv:hep-th/0212049. Bibcode:2004AmJPh..72..170D. doi:10.1119/1.1624112.  A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group.
• Maris, H.J.; Kadanoff, L.P. (June 1978). “Teaching the renormalization group”. 《American Journal of Physics》 46 (6): 652–657. Bibcode:1978AmJPh..46..652M. doi:10.1119/1.11224.  A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
• Huang, K. (2013). “A Critical History of Renormalization”. 《International Journal of Modern Physics A》 28 (29): 1330050. arXiv:1310.5533. Bibcode:2013IJMPA..2830050H. doi:10.1142/S0217751X13300500. 
• Shirkov, D.V. (31 August 2001). “Fifty years of the renormalization group”. 《CERN Courier》. 12 November 2008에 확인함. 
• Bagnuls, C.; Bervillier, C. (2001). “Exact renormalization group equations: an introductory review”. 《Physics Reports》 348 (1–2): 91–157. arXiv:hep-th/0002034. Bibcode:2001PhR...348...91B. doi:10.1016/S0370-1573(00)00137-X. 

서적

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• L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0ISBN 90-5699-145-0.
• Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024ISBN 9780415310024 (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
• Zinn-Justin, Jean (2002). Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (an exceptionally solid and thorough treatise on both topics);
• Zinn-Justin, Jean: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript.
• Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ⁴-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF.

[[분류:수리물리학]] [[분류:통계역학]] [[분류:양자장론]] [[분류:재규격화군]] [[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]