사용자:Kobmuiv/무작위장

수학에서 무작위장은 임의의 영역(보통 $\mathbb {R} ^{n}$ 과 같은 다차원 공간)에서 정의된 무작위 함수이다. 즉, 각 점 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (또는 다른 정의역)에서 임의의 값을 취하는 함수 $f(x)$ 이다. 또한 이는 첨자 집합에 어떤 제한이 있는 확률 과정의 동의어로 보기도 한다. 즉, 현대 정의에 따르면 무작위장은 기본 매개변수가 더 이상 실수 또는 정수일 필요가 없고 대신 다차원 벡터 또는 다양체의 점일 수 있다.^[1]

정의[편집]

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 이 주어지면, $X$ 값 무작위장은 위상 공간 $T$ 의 원소로 이름표 붙은 $X$ 값 확률 변수들의 집합이다. 즉, 무작위장 $F$ 는

\{F_{t}:t\in T\}

이다. 여기서 각 $F_{t}$ 는 $X$ 값 확률 변수이다.

예[편집]

가장 기초적인 이산형에서 무작위장은 이름표가 공간(예: n 차원 유클리드 공간)의 점들의 이산 집합인 난수 목록이다. 4개의 확률변수 $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , $X_{4}$ 가 각각 (0,0), (0,2), (2,2) 및 (2,0)의 2차원 격자에 있다고 가정하자. 각 확률 변수가 -1 또는 1의 값을 가질 수 있고 각 확률 변수 값의 확률은 바로 인접한 이웃에 따라 달라진다고 가정한다. 이것은 이산 무작위장의 간단한 예이다.

보다 일반적으로 각 값 $X_{i}$ 은 연속적인 정의역에 대해 정의될 수 있다. 더 큰 격자에서는 위에서 설명한 대로 무작위장를 "함수 값" 확률 변수로 생각하는 것이 유용할 수도 있다. 양자장론에서 함수 공간에 걸쳐 임의의 값을 취하는 확률 범함수를 고려한다(파인만 적분 참조).

여러 종류의 무작위장이 존재하며 그 중에는 마르코프 무작위장 (MRF), 깁스 무작위장, 조건부 무작위장(CRF) 및 가우스 무작위장이 있다. 1974년 Julian Besag는 MRF와 Gibbs RF 사이의 관계에 의존하는 근사 방법을 제안했다. </link>^{[ 인용 필요 ]}

예제 성질[편집]

MRF는 마르코프 성질을 나타낸다. 각 값 $(x_{j})_{j}$ 선택에 대해,

P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,

여기서 각 $\partial _{i}$ 는 $i$ 의 이웃의 집합이다. 즉, 확률 변수가 값을 가정할 확률은 바로 이웃하는 확률 변수에 따라 달라진다. MRF에서 확률 변수의 확률은 다음과 같이 제공된다.

P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},

여기서 합(적분일 수 있음)은 k의 가능한 값에 대해서 이뤄진다. 이를 정확하게 계산하는 것은 때로는 어렵다.

응용[편집]

자연 과학 현상을 모델링 할 때 응용하는 경우 무작위장의 값은 공간적으로 상관되는 경우가 많다. 예를 들어, 인접한 값(즉, 인접한 인덱스가 있는 값)은 더 멀리 떨어져 있는 값만큼 다르지 않다. 이는 공분산 구조의 한 예이며, 다양한 유형이 무작위장에서 모델링될 수 있다. 한 가지 예는 때때로 가장 가까운 이웃 상호 작용이 모델을 더 잘 이해하기 위한 단순화로만 포함되는 이징 모델이다.

무작위 장의 일반적인 용도는 컴퓨터 그래픽, 특히 물과 땅 과 같은 자연적 표면을 모방하는 그래픽 생성에 있다. 무작위장은 ^[2]에서와 같이 지하 모델에도 사용되었다.

신경과학, 특히 PET 또는 fMRI를 사용한 작업 관련 기능적 뇌 영상 연구에서 무작위장의 통계 분석은 실제로 중요한 활성화가 있는 영역을 찾기 위한 다중 비교 수정에 대한 일반적인 대안 중 하나이다. ^[3]

이는 기계 학습에도 사용된다( 그래픽 모델 참조).

텐서 값 무작위장[편집]

무작위장은 자연적으로 공간적으로 변하는 특성에 해당하는 몬테카를로 방법을 통해 자연적 과정을 연구하는 데 유용하다. 이로 인해 텐서 값 무작위장이 발생한다. ^{[ <span title="There is no indication here or in the linked Wikipedia article what these tensors might be. (October 2023)">설명 필요</span> ]} 여기서 중요한 역할은 속성의 평균을 계산할 수 있는 공간 상자인 통계적 부피 원소 (SVE)에 의해 수행된다. SVE가 충분히 커지면 그 특성은 결정론적이 되고 결정론적 연속체 물리학의 대표 체적 원소 (RVE)를 복구한다. 연속체 이론에 나타나는 두 번째 유형의 무작위장은 종속량(온도, 변위, 속도, 변형, 회전, 물체 및 표면력, 응력 등)의 무작위장이다. ^[4]

같이보기[편집]

공분산
크리깅
배리오그램
재판매
확률 과정
상호작용하는 입자계
확률론적 세포 오토마타

참고자료[편집]

↑ Vanmarcke, Erik (2010). 《Random Fields: Analysis and Synthesis》. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538.
↑ Cardenas, IC (2023). “A two-dimensional approach to quantify stratigraphic uncertainty from borehole data using non-homogeneous random fields”. 《Engineering Geology》. doi:10.1016/j.enggeo.2023.107001.
↑ Worsley, K. J.; Evans, A. C.; Marrett, S.; Neelin, P. (November 1992). “A Three-Dimensional Statistical Analysis for CBF Activation Studies in Human Brain”. 《Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism》 (미국 영어) 12 (6): 900–918. doi:10.1038/jcbfm.1992.127. ISSN 0271-678X. PMID 1400644.
↑ Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). 《Tensor-Valued Random Fields for Continuum Physics》. Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

추가 읽기[편집]

Adler, R. J.; Taylor, Jonathan (2007). 《Random Fields and Geometry》. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
Besag, J. E. (1974). “Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems”. 《Journal of the Royal Statistical Society》. Series B 36 (2): 192–236. doi:10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
Griffeath, David (1976). 〈Random Fields〉. Kemeny, John G.; Snell, Laurie; Knapp, Anthony W. 《Denumerable Markov Chains》 2판. Springer. ISBN 0-387-90177-9.
Davar Khoshnevisan (2002). 《Multiparameter Processes : An Introduction to Random Fields》. Springer. ISBN 0-387-95459-7.

[[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]

[1] Vanmarcke, Erik (2010). 《Random Fields: Analysis and Synthesis》. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538.

[2] Cardenas, IC (2023). “A two-dimensional approach to quantify stratigraphic uncertainty from borehole data using non-homogeneous random fields”. 《Engineering Geology》. doi:10.1016/j.enggeo.2023.107001.

[3] Worsley, K. J.; Evans, A. C.; Marrett, S.; Neelin, P. (November 1992). “A Three-Dimensional Statistical Analysis for CBF Activation Studies in Human Brain”. 《Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism》 (미국 영어) 12 (6): 900–918. doi:10.1038/jcbfm.1992.127. ISSN 0271-678X. PMID 1400644.

[4] Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). 《Tensor-Valued Random Fields for Continuum Physics》. Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

[1]

[2]

[3]

[4]