비조화비

사영기하학에서, 비조화비(非調和比, 영어: anharmonic ratio) 또는 복비(複比, 영어: double ratio)는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다.

정의

같은 실수 또는 복소 직선 위에 있는 네 점 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$의 비조화비 $(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})$는 다음과 같다.

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}$

대칭군의 작용

네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 $\lambda$는 다음과 같이 변환한다.

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=\lambda$		$(z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})=1/\lambda$
$(z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})=1/(1-\lambda )$		$(z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})=1-\lambda$
$(z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})=\lambda /(\lambda -1)$		$(z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})=(\lambda -1)/\lambda$

이는 대칭군 $S_{4}$의 작용으로 볼 수 있다. 다만, $S_{4}$ 가운데 일부 원소들은 자명하게 작용한다.

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=(z_{2},z_{1};z_{4},z_{3})=(z_{3},z_{4};z_{1},z_{2})=(z_{4},z_{3};z_{2},z_{1})$

$S_{4}$의 작용의 핵은 클라인 4원군 $(\mathbb {Z} /2)^{2}$이며, 따라서 이는 사실 $S_{4}/(\mathbb {Z} /2)^{2}\cong S_{3}$의 작용이 된다. 이 군을 비조화군(非調和群, 영어: anharmonic group)이라고 하며, 이는 모듈러 군 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )=\langle S,T|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle$의 꼬임 부분군 $\langle S,ST|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle$에 대응한다.

조화비

비조화군의 작용의 궤도 $\{\lambda ^{\pm 1},(1-\lambda )^{\pm 1},(\lambda /(\lambda -1))^{\pm 1}\}$는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 크기가 이보다 작을 수 있다.

이러한 궤도는 세 가지가 있다.

• 첫 번째 예외적 궤도는 $\{0,1,\infty \}$이며, 이는 네 좌표 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ 가운데 둘이 서로 겹치는 경우이다.
• 두 번째 예외적 궤도는 $\{-1,1/2,2\}$이며, 이를 조화비(調和比, 영어: harmonic ratio)라고 한다. 이는 차수가 2인 원소 $\lambda \mapsto 1/\lambda$, $\lambda \mapsto 1-\lambda$, $\lambda \mapsto \lambda /(1-\lambda )$에 대응한다.
• 세 번째로, 복소수체에 대한 경우 궤도 $\{\exp(\pm \pi i/3)\}$가 있다. 이는 차수가 3인 원소 $\lambda \mapsto 1/(1-\lambda )$ 및 $\lambda \mapsto (\lambda -1)/\lambda$에 대응한다.

응용

쌍곡기하학의 벨트라미-클라인 모형에서, 두 점 사이의 쌍곡 거리는 이 두 점 사이의 (유클리드) 비조화비에 의해 주어진다.

복소 평면에서, 세 개의 점 $e_{1},e_{2},e_{3}\in \mathbb {C}$을 잡으면, 바이어슈트라스 타원함수 $\wp (-;\omega _{1},\omega _{2})\colon \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle \to \mathbb {C}$는 $\{e_{1},e_{2},e_{3},{\widehat {\infty }}\}$를 분지점으로 하는, 복소 평면에서 타원 곡선 $\mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle$으로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 분지점들의 비조화비는 모듈러 람다 함수에 의해 주어지며, 그 값은 비조화군의 작용에 따라 변환한다.

참고 문헌

• Labourie, François (2008년 11월). “What is … a cross-ratio?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 2008 (10): 1234–1235. 

외부 링크

• “Cross ratio”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Harmonic quadruple”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cross ratio”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.