복소 다양체

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미분기하학에서, 복소 다양체(複素多樣體, complex manifold)는 국소적으로 복소 공간 \mathbb C^n으로 간주할 수 있는 위상공간이다.

정의[편집]

복소 다양체 (M,\{U_\alpha\},\{\phi_\alpha\}\})는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

  • 위상공간 M
  • M의 열린 덮개 \{U_\alpha\}_{\alpha\in I}
  • U_\alpha에 대하여, 연속 함수 \phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb C^n. 여기서 정수 n은 복소 다양체의 차원이다. 함수 집합 \{\phi_\alpha\}_{\alpha\in I}좌표근방계(atlas)라고 한다.

좌표근방계는 다음 조건을 만족하여야 한다.

  • U_\alpha\cap U_\beta\ne\varnothing\alpha,\beta에 대하여, 함수 \phi_{\alpha\beta}=\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}\colon f_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to f_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)정칙함수이어야 한다. 이 함수들을 추이사상(推移寫像,transition map)이라고 한다.

거의 복소 구조[편집]

특수한 짝수 차원의 실수 다양체는 복소 다양체의 구조를 가질 수 있다.

실수 다양체 M 위의 거의 복소 구조(almost complex structure)는 다음 조건을 만족하는 다발 사상 J\colon TM\to TM이다.

  • J^2=-1.

오직 짝수 차원의 실수 다양체만이 거의 복소 구조를 지닐 수 있다. 거의 복소 구조를 가진 실수 다양체 (M,J)거의 복소 다양체(almost complex manifold)라고 한다.

다음 조건을 만족하는 거의 복소 구조 J복소 구조(complex structure)라고 한다. 임의의 벡터장 X,Y\in\Gamma(TM)에 대하여,

  •  N_J(X,Y) \equiv [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY] - [JX, JY] = 0.

N_J네이엔하위스 텐서(Nijenhuis tensor)라고 하며, 네덜란드의 수학자 알버르트 네이엔하위스(네덜란드어: Albert Nijenhuis)가 1951년 도입하였다.[1]

복소 구조를 갖춘 2n차원의 실수 다양체는 n차원의 복소 다양체와 같으며, J_p\colon T_pM\to T_pMi=\sqrt{-1}를 곱하는 것으로 생각할 수 있다.

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참고 문헌[편집]

  1. Nijenhuis, Albert (1951년). Xn−1-forming sets of eigenvectors. 《Indagationes Mathematicae》 13: 200–212. MR0043540. Zbl 0042.16001.