복소다양체

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미분기하학에서, 복소다양체(複素多樣體, 영어: complex manifold)는 국소적으로 복소 공간 으로 간주할 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

복소다양체 는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

  • 위상 공간
  • 열린 덮개
  • 에 대하여, 연속 함수 . 여기서 정수 은 복소다양체의 차원이다. 함수족 좌표근방계(atlas)라고 한다.

좌표근방계는 다음 조건을 만족하여야 한다.

  • 에 대하여, 함수 정칙 함수이어야 한다. 이 함수들을 추이 사상(推移寫像,transition map)이라고 한다.

개복소구조[편집]

특수한 짝수 차원의 실수 다양체는 복소다양체의 구조를 가질 수 있다.

실수 다양체 위의 개복소구조(槪複素構造, 영어: almost complex structure)는 다음 조건을 만족하는 다발 사상 이다.

  • .

오직 짝수 차원의 실수 다양체만이 거의 복소 구조를 지닐 수 있다. 거의 복소 구조를 가진 실수 다양체 개복소다양체(槪複素多樣體, 영어: almost complex manifold)라고 한다.

다음 조건을 만족하는 개복소구조 복소구조(複素構造, 영어: complex structure)라고 한다. 임의의 벡터장 에 대하여,

  • .

네이엔하위스 텐서(Nijenhuis tensor)라고 하며, 네덜란드의 수학자 알버르트 네이엔하위스(네덜란드어: Albert Nijenhuis)가 1951년 도입하였다.[1]

복소 구조를 갖춘 차원의 실수 다양체는 차원의 복소다양체와 같으며, 를 곱하는 것으로 생각할 수 있다.

[편집]

  • 복소 유클리드 공간 차원 복소다양체이다.
  • 리만 곡면은 1차원 복소다양체이다.
  • 에르미트 다양체, 켈러 다양체, 칼라비-야우 다양체 등은 복소다양체의 특수한 경우다.
  • 와 같은 복소 리 군도 복소다양체이다.
  • 복소수 사영 공간 도 복소다양체를 이룬다.

참고 문헌[편집]

  1. Nijenhuis, Albert (1951). “Xn−1-forming sets of eigenvectors”. 《Indagationes Mathematicae》 13: 200–212. MR 0043540. Zbl 0042.16001. 

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같이 보기[편집]