메넬라오스 정리

메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나는 경우.

메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나지 않는 경우.

기하학에서 메넬라오스 정리(영어: Menelaus' theorem)는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.

정의

점 $D$, $E$, $F$가 각각 삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 직선 위의 점이라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$, $E$, $F$는 공선점이다.
• ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1$

두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, $AF/FB$는 $F$가 $AB$의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어, $F$가 직선 $AB$ 위의 무한원점일 경우, $D$, $E$, $F$가 공선점일 필요충분조건은 $DE$가 $AB$에 평행하는 것이며, $AF/FB=-1$이 성립한다.

증명

증명 1

우선 $D$, $E$, $F$가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자.^{:66-67, §3.4} 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 직선 $DE$에 내린 수선의 발을 $P$, $Q$, $R$라고 하자. 그렇다면 $AP$, $BQ$, $CR$는 평행선이므로

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {AP}{BQ}}\right|,\;\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BQ}{CR}}\right|,\;\left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {CR}{AP}}\right|$

이다. 따라서

$\left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {AP}{BQ}}\cdot {\frac {BQ}{CR}}\cdot {\frac {CR}{AP}}\right|=1$

가 성립한다.

반대로

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1$

이라고 가정하고 $D$, $E$, $F$가 공선점임을 보이자. 직선 $DE$가 직선 $AB$와 $F'$에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여

${\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1$

이며, 따라서

${\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}$

이다. 직선 $AB$를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 $F=F'$이며, 특히 $F$는 직선 $DE$ 위의 점이다.

증명 2

우선 $D$, $E$, $F$가 공선점이라고 가정하자.^{:147-148, §13.1} 꼭짓점 $B$를 지나는 직선 $DE$의 평행선이 대변 $AC$의 직선과 점$X$에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 $ABX$와 $AFE$는 서로 닮음이며, 삼각형 $BCX$와 $DCE$ 역시 서로 닮음이다. 특히

$\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {AE}{EX}}\right|,\;\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {XE}{EC}}\right|$

이므로,

$\left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {AE}{EX}}\cdot {\frac {XE}{EC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1$

가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

따름정리

변의 중점에 대한 반사 관련 성질

점 $D$, $E$, $F$가 각각 삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 $D'$, $E'$, $F'$이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$, $E$, $F$는 공선점이다.
• $D'$, $E'$, $F'$는 공선점이다.

이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

내각과 외각의 이등분선의 성질

삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 $ABC$의 세 내각 또는 외각의 이등분선 $AD$, $BE$, $CF$가 대변 $BC$, $CA$, $AB$의 직선과 점 $D$, $E$, $F$에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 $D$, $E$, $F$는 공선점이다.

수심축

 이 부분의 본문은 수심축입니다.

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 $P$, $Q$, $R$라고 하고, 수심 삼각형 $PQR$의 세 변 $QR$, $RP$, $PQ$가 각각 원래 삼각형의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 점 $D$, $E$, $F$에서 만난다고 하자. 그렇다면 $D$, $E$, $F$는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 $ABC$의 수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

외접원의 접선의 성질

삼각형 $ABC$의 외접원의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서의 접선이 대변 $BC$, $CA$, $AB$의 직선과 점 $D$, $E$, $F$에서 만난다고 하자. 그렇다면 $D$, $E$, $F$는 공선점이다.

일반화

다각형의 경우

임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.

${\frac {AE}{EB}}\cdot {\frac {BF}{FC}}\cdot {\frac {CG}{GD}}\cdot {\frac {DH}{HA}}=1$

직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

역사

알렉산드리아의 메넬라오스(고대 그리스어: Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς)는 저서 《구면학》(라틴어: Sphaerica)의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.^{:121, §5.6} 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.^{:121, §5.6}

같이 보기

• 체바 정리
• 하루키 정리
• 체바 직선
• 등각 켤레점
• 각의 이등분선

외부 링크

• “Menelaus theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Menelaus' theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Menelaus's theorem”. 《ProofWiki》 (영어).