해석학에서, 디니 정리(Dini's theorem)는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다.
에서 정의된 실함수열
이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
는
의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해
는 유계인 닫힌집합이다.)
은 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e.,
)
이
에서 연속인 (극한)함수
로 점별 수렴한다. (i.e,
continuous function
such that
on
)
그렇다면,
이
에서
로 균등 수렴한다. 즉,
on
이다.
일반성을 잃지 않고,
이 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약
이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.)
함수
을
이라 정의하자. 조건에 의해
와
는 연속함수이므로
도 연속함수이다.
먼저, 집합
을
이라 정의하자. 집합
의 정의에 의해
임을 알 수 있다.
또한
는
에서 열린집합이고
이 연속함수이므로
의 역상
은
에서 열린집합이다.
이제
임을 보이기 위해
라 하자.
조건에 의해
이
에서 연속인 극한함수
로 점별 수렴하므로,
이다.
따라서,
일 때
이 되도록 하는 양의 정수
이 존재한다.
과
의 정의에 의해
임을 알 수 있으므로
이 성립한다.
따라서, 집합족
를
이라 정의하면
는
의 열린덮개가 된다.
는 조건에 의해 콤팩트이므로
의 유한 열린 부분 덮개
가 존재하여
이다. 특히 임의의 양의 정수
에 대해
이므로
이다. 따라서,
이다.
또한 ![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c1482aadf309ab3fe04327732c45c8fb8b30c7)
임을 알 수 있으므로, 양의 정수
에 대하여
이다.
이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다.
임의의
에 대하여
이고
라고 하자.
그러면
이므로
이다.
또한 가정에 의해
이 증가하는 연속함수열이므로,
임을 알 수 있다.
따라서
이다. 즉,
이
에서
로 균등 수렴한다.[1]
- ↑ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2010). 〈Chapter 8 SEQUENCE OF FUNCTIONS / Section 8.2. Interchange of Limits〉. 《Introduction to real analysis》 4판. New York Weinheim: Wiley. 252쪽. ISBN 978-0-471-43331-6.