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디니 정리

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해석학에서, 디니 정리(Dini's theorem)는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다.

정의

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에서 정의된 실함수열 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

  • 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해 유계닫힌집합이다.)
  • 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e., )
  • 에서 연속인 (극한)함수 점별 수렴한다. (i.e, continuous function such that on )

그렇다면, 에서 로 균등 수렴한다. 즉,

on

이다.

증명

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일반성을 잃지 않고, 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약 이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.) 함수 이라 정의하자. 조건에 의해 연속함수이므로 연속함수이다.


먼저, 집합 이라 정의하자. 집합 의 정의에 의해 임을 알 수 있다. 또한 에서 열린집합이고 연속함수이므로 역상 에서 열린집합이다.


이제 임을 보이기 위해 라 하자. 조건에 의해 에서 연속인 극한함수 점별 수렴하므로, 이다. 따라서, 일 때 이 되도록 하는 양의 정수 이 존재한다. 의 정의에 의해 임을 알 수 있으므로 이 성립한다.


따라서, 집합족 이라 정의하면 열린덮개가 된다. 는 조건에 의해 콤팩트이므로 유한 열린 부분 덮개 이 존재하여 이다. 특히 임의의 양의 정수 에 대해 이므로, 이다. 따라서, 이다. 또한 임을 알 수 있으므로, 양의 정수 에 대하여 이다.


이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다. 임의의 에 대하여 이고 라고 하자. 그러면 이므로 이다. 또한 가정에 의해 증가하는 연속함수열이므로, 임을 알 수 있다. 따라서 이다. 즉, 에서 균등 수렴한다.[1]

각주

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  1. Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2010). 〈Chapter 8 SEQUENCE OF FUNCTIONS / Section 8.2. Interchange of Limits〉. 《Introduction to real analysis》 4판. New York Weinheim: Wiley. 252쪽. ISBN 978-0-471-43331-6.