칸토어의 교점 정리

칸토어의 교점 정리(Cantor's intersection theorem, -交點 定理)는 실해석학의 정리로, 독일의 수학자 게오르크 칸토어의 이름이 붙어 있다. 실수를 위상수학적으로 다룰 때의 핵심적인 특성 중 하나이다.

공식화

칸토어의 교점 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

1. H₁, H₂, ... 를 n차원 유클리드 공간 $R^n$ 상의 공집합이 아닌 컴팩트 집합열이라 하자. 만일 H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... 라 하면,
2. $\left(\bigcap_{k} H_k\right) \neq \emptyset. \,$

증명

이 정리는 컴팩트 공간의 조건을 유한교차성에 대한 형태로 쓸 때 그 직접적인 결과이다. 직접 증명하기 위해서는 다음 과정을 따르면 된다.

$\left(\bigcap_{k} H_k\right) = \emptyset. \,$ 이라 가정하자. 그러면 드 모르간의 법칙에 따라 $H_j^c$ 들은 모두 합집합을 할 경우 $R^n$ 이 되므로, H₁의 열린 덮개가 된다. 그런데 H₁은 컴팩트이므로 유한 개의 $H_j^c$ 만으로 덮을 수 있고, 다시 한 번 드 모르간의 법칙을 적용하면, 적당한 N에 대하여,

$\left(\bigcap_{k=1}^N H_k\right) = H_N \subseteq H_1^c.$

그런데 가정에 의하여 $H_n \subseteq H_1$ 이므로, $H_N$ 는 공집합이 된다. 이는 각 j에 대하여 H_j가 공집합이 아니라는 가정에 모순이다.

일반화

이상의 증명에서 $R^n$ 의 성질을 사용하지 않았으므로, 이 정리는 컴팩트 집합이 닫힌 집합인 위상공간, 즉 임의의 하우스도르프 공간에 대해 적용할 수 있다.

참고 문헌

• 김락중 외, 『해석학 입문』, 경문사, 2007.