칸토어의 교점 정리

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칸토어의 교점 정리( Cantor-交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 실해석학의 정리로, 독일수학자 게오르크 칸토어의 이름이 붙어 있다. 실수위상수학적으로 다룰 때의 핵심적인 특성 중 하나이다.

공식화[편집]

칸토어의 교점 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1]:261

  1. H1, H2, ... 를 n차원 유클리드 공간 R^n 상의 공집합이 아닌 콤팩트 집합열이라 하자. 만일 H1 ⊇ H2 ⊇ ... 라 하면,
  2. \left(\bigcap_{k} H_k\right) \neq \emptyset. \,

증명[편집]

이 정리는 콤팩트 공간의 조건을 유한교차성에 대한 형태로 쓸 때 그 직접적인 결과이다. 직접 증명하기 위해서는 다음 과정을 따르면 된다.

\left(\bigcap_{k} H_k\right) = \emptyset. \, 이라 가정하자. 그러면 드 모르간의 법칙에 따라 H_j^c 들은 모두 합집합을 할 경우 R^n 이 되므로, H1열린 덮개가 된다. 그런데 H1은 콤팩트이므로 유한 개의 H_j^c 만으로 덮을 수 있고, 다시 한 번 드 모르간의 법칙을 적용하면, 적당한 N에 대하여,

\left(\bigcap_{k=1}^N H_k\right) = H_N \subseteq H_1^c.

그런데 가정에 의하여 H_n \subseteq H_1 이므로, H_N 는 공집합이 된다. 이는 각 j에 대하여 Hj가 공집합이 아니라는 가정에 모순이다.[1]:261

일반화[편집]

이상의 증명에서 R^n 의 성질을 사용하지 않았으므로, 이 정리는 콤팩트 집합이 닫힌 집합위상공간, 즉 임의의 하우스도르프 공간에 대해 적용할 수 있다.

주석[편집]

  1. 김락중 외 (2007년). 《해석학 입문》. 경문사

참고 문헌[편집]

  • 김락중 외, 『해석학 입문』, 경문사, 2007.