자기 쌍대 양-밀스 이론

자기 쌍대 양-밀스 이론(영어: self-dual Yang–Mills theory)은 4차원 공간 위의 양-밀스 순간자를 다루는 양자장론이다.

정의

다음과 같은 기하학적 구조가 주어졌다고 하자.

• 4차원 (유클리드 부호수) 리만 다양체 $(M,g)$. 이는 시공간에 해당한다.
• 콤팩트 리 군 $G$ 및 그 리 대수 위의 이차 형식 $\operatorname {Tr} (AB)$
• $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow M$

자기 쌍대 양-밀스 이론은 다음과 같은 장을 갖는다.

• $P$의 주접속 $A$. 그 주곡률 $F\in \operatorname {\Omega } ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))$이다.
• 자기 반쌍대 보조장 $L\in \Gamma (\mathrm {T} ^{\wedge 2}M\otimes \operatorname {ad} (P))$

이에 대한 작용은 다음과 같다.

$\exp(-S)=\exp \left(\tau \int \mathrm {d} ^{4}x\,\operatorname {tr} (F\wedge \star F)+\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}x\,\operatorname {tr} (P\wedge F)\right)$

작용에서, 리만 계량은 직접 등장하지 않으며, 대신 2차 형식의 호지 쌍대 $\star \colon \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{2}(M)$만이 등장한다. 특히, 이 작용은 (고전적으로) 리만 계량의 등각 변환

$g\mapsto \exp(\phi )g\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ))$

에 대하여 불변이다.

이에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

$F=\star F$

$P=0$

즉, 그 짜임새 공간은 양-밀스 순간자의 공간과 같다.

이 작용에서, 보조장이 자기 반쌍대인 것은 추가로 부여해야 하는 제약이다. 이러한 제약이 없이는 명백히 로런츠 불변인 작용을 적을 수 없다.

초대칭 자기 쌍대 양-밀스 이론

이 이론에 페르미온을 추가하여 초대칭을 따르게 할 수 있다. 4차원에서, 하나의 게이지 장은 2개의 질량껍질 위 자유도를 가지므로, 자기 쌍대 게이지 장은 1개의 질량껍질 위 자유도를 가진다. 4차원에서 1개의 자유도를 갖는 페르미온은 마요라나-바일 스피너가 되어야 하는데, 이는 부호수 (2,2)에서만 가능하다. (반면, 자기 쌍대 게이지 장이 존재하라면 부호수가 (4,0) 또는 (2,2)일 수 있다.)

성질

이 이론의 작용에 항 $\textstyle \epsilon \int \operatorname {tr} (L\wedge L)$를 추가한다면, 이 이론은 일반 양-밀스 이론과 동치이게 된다.

역사

고든 차머스(영어: Gordon Chalmers)와 워런 시걸(영어: Warren Siegel)이 1997년에 도입하였다.

참고 문헌

• Movshev, M. V. (2008년 12월 7일). “A note on self-dual Yang–Mills theory” (영어). arXiv:0812.0224. 
• Popov, A. D. (1998년 6월 25일). “Self-dual Yang–Mills: symmetries and moduli space” (영어). arXiv:hep-th/9803183. 

외부 링크

• “Self-dual Yang-Mills theory”. 《nLab》 (영어).