완전 유계 공간
(완전 유계 집합에서 넘어옴)
해석학에서 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 프리콤팩트 공간(영어: precompact space)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.
정의[편집]
균등 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.
(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)
성질[편집]
완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 완전 유계 공간이다.
- 의 완비화 는 완전 유계 공간이다.
균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]
완전 유계 거리 공간[편집]
거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:275
즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.
모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
예[편집]
유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 유계 공간이다.
- 완전 유계 공간이다.
완전 유계 공간이 아닌 유계 공간[편집]
임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 완전 유계 공간이다.
- 유한 집합이다.
각주[편집]
- ↑ Newns, W. F. (1954). “Sur les espaces uniformes précompacts”. 《Portugaliae mathematica》 (프랑스어) 13 (1): 33–34. MR 0066626. Zbl 0057.38902. 2016년 8월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함.
- ↑ Frank, D. L. (1965). “A totally bounded, complete uniform space is compact”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 514–514. doi:10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5. ISSN 0002-9939. MR 0175088.
- ↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
외부 링크[편집]
- “Totally-bounded space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Totally bounded space”. 《nLab》 (영어).
- “Precompact space”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: totally bounded”. 《ProofWiki》 (영어). 2012년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함.
- “Equivalence of definition s of total boundedness”. 《ProofWiki》 (영어). 2011년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함.
- “Totally bounded metric space is bounded”. 《ProofWiki》 (영어). 2011년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함.
- “Totally bounded metric space”. 《Topospaces》 (영어).