사원수 표현

군 표현론에서, 사원수 표현(四元數表現, 영어: quaternionic representation은 사원수 벡터 공간 위의 군의 표현이다.

정의

사원수 표현의 개념은 사원수의 용어를 사용하여 간단히 정의될 수 있으며, 사원수를 사용하지 않고 순수하게 복소수만으로 정의될 수도 있다.

사원수를 통한 정의

군 $G$의 사원수 표현은 다음과 같은 꼴의 군 준동형이다.

$\rho \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )$

여기서

• $\operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )=\hom _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{\oplus n},\mathbb {H} ^{\oplus n})$은 $n$차원 사원수 벡터 공간 위의, 가역 사원수 선형 변환들의 리 군이다.

복소수를 통한 정의

군 $G$의 사원수 표현 $(\rho ,V,j)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 짝수 $2n$ 차원 복소수 벡터 공간 $V$
• 군 준동형 $\rho \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )$
• 실수 선형 변환 $j\colon V\to V$

이는 다음을 만족시켜야 한다.

• (대합) $j\circ j=\operatorname {id} _{V}$
• (반선형성) 임의의 복소수 $\lambda \in \mathbb {C}$ 및 $v\in V$에 대하여, $j(\lambda v)={\bar {\lambda }}j(v)$
• (군의 작용) 임의의 $g\in G$ 및 $v\in V$에 대하여, $j(\rho (g)v)=\rho (g)j(v)$

예

SU(2) 스피너 표현

3차원 스핀 군 $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)$의 복소수 2차원 스피너 표현은 사원수 표현을 이룬다. 사원수 표현으로서, 이 표현

$\rho \colon \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {H} )$

의 상은

$\operatorname {im} \rho =\{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}$

이다. 이는 유니터리 표현이다.

콤팩트 단순 리 군의 사원수 표현

연결 단일 연결 콤팩트 리 군 가운데, 사원수 기약 표현을 갖는 것들의 목록은 다음과 같다.

• $\operatorname {SU} (4n+2)$ (즉, ${\mathsf {A}}_{4\bullet +1}$)
• $\operatorname {Spin} (n)$, $(n{\bmod {8}})\in \{3,4,5\}$ (즉, ${\mathsf {B}}_{4\bullet +1}$, ${\mathsf {B}}_{4\bullet +1}$, ${\mathsf {D}}_{4\bullet +2}$)
• $\operatorname {USp} (2n)$ (즉, ${\mathsf {C}}_{\bullet }$)
• ${\mathsf {E}}_{7}$

스핀 군의 경우, 사원수 기약 표현의 존재는 보트 주기성을 따른다.

외부 링크

• Robbin, J. W. (2006년 3월 10일). “Real, complex, and quaternionic representations” (PDF) (영어). 
• “Which groups have only real and quaternionic irreducible representations?” (영어). Math Overflow.