보렐-카라테오도리 정리

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보렐-카라테오도리 정리(Borel–Carathéodory theorem, -定理)는 복소해석학의 정리로, 프랑스 수학자 에밀 보렐그리스 수학자 콘스탄티노스 카라테오도리의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 임의의 해석함수절댓값에는 그 실수부최댓값을 적절히 이용해서 상계를 잡을 수 있다는 것을 보여준다.

공식화[편집]

복소 변수 함수 f(z)가 |z|≤R에서 해석적이라 하고 A(r) = \max_{|z|=r} \mathfrak{R}f(z) 라 하면, 0<r<R에 대하여 다음 부등식이 성립한다.[1]

\max_{|z|=r} |f(z)| \le \frac{2r}{R-r} A(R) + \frac{R+r}{R-r} |f(0)|.

증명의 개략[편집]

이 정리의 증명은 다음과 같은 단계로 할 수 있다.[2]

  1. 먼저 f(z)가 상수함수일 때는 분명하므로 f(z)를 상수함수가 아니라 가정하자.
  2. 이때 g(z) := \frac{f(z)}{2A(R) - f(z)} 를 잡으면 이 함수는 |z|≤R에서 해석적이다.
  3. |z|≤R에서 |g(z)|≤1임을 간단한 대수적 조작으로 증명할 수 있다. 따라서 이 함수에 슈바르츠의 보조정리를 적용한다.
  4. 그리고 약간의 대수적 조작을 거쳐 |f(z)| \le \frac{2rA(R)}{R-r} 를 얻고, 곧바로 f(0) = 0일 때가 증명된다.
  5. f(0) ≠ 0인 경우에는 |f(z) - f(0)| \le \frac{2r}{R-r} (A(R) + |f(0)|) 이 성립하므로, 절댓값을 풀고 식을 정리하면 증명된다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 351쪽.
  2. 같은 책, 352쪽.

참고 문헌[편집]

  • 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005.