벡터 퍼텐셜

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벡터 퍼텐셜(vector potential)은 그 회전자기장벡터장이다. 전기장의 퍼텐셜인 전위에 대응되는 값으로, 벡터 퍼텐셜과 전위는 상대성 이론에서 전자기 퍼텐셜 사차원 벡터를 이룬다. 기호는 라틴 대문자 A. 국제 단위테슬라 미터 (T · m) 또는 웨버미터 (Wb/m)이다.

정의[편집]

가우스 자기 법칙에 따르면 자기장 \mathbf{B}발산은 항상 0이 된다. 즉,

\nabla\cdot\mathbf B=0.

그 발산이 0인 벡터장은 (약간의 수학적 조건을 만족하면) 항상 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

\mathbf B=\nabla\times\mathbf A.

여기서 \nabla\times회전 연산자이고, \mathbf A벡터 퍼텐셜이다. (다만, 이 조건을 만족하는 벡터장 \mathbf A는 유일하지 않다.)

전기장과 자기장의 표현[편집]

자기장\mathbf{B}의 시간에 따른 변화량이 없을때 전기장 \mathbf{E}는 스칼라 퍼텐셜의 기울기만으로 나타낼 수 있다. 그 이유는 자기장의 시간에 따른 변화가 없을 경우 패러데이 법칙에 의하여 전기장의 회전이 0이 되기 때문이다. 하지만 자기장이 시간에 따라 변화하는 경우, 전기장을 퍼텐셜로 표현할때 스칼라 퍼텐셜로만은 표현할 수 없고 벡터 퍼텐셜에 의한 효과가 추가된다.

i) \nabla \times \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \mathbf{E} = - \nabla V

ii) \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Rightarrow \mathbf{E} = - \nabla V- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}

게이지 변환[편집]

위 두 방정식을 만족하는 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않으며 전기장과 자기장을 변화시키기 않는 범위 내에서 변화시킬 수 있다. 단, 주의해야 할 것은 전기장과 자기장을 변화시키기 않는 범위내에서 벡터 퍼텐셜을 변화시키려면 스칼라 퍼텐셜 V까지 같이 변화시켜야 한다는 것이다. 전기장과 자기장을 변화시키기 않으면서 두 퍼텐셜을 변화하는 과정을 게이지 변환(gauge transformation)이라고 부른다.

\mathbf{A'} = \mathbf{A} + \nabla \lambda
V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}

위 두 식의 \lambda는 임의의 스칼라 함수이며 게이지 함수라고 부른다. 이 게이지를 바꾸어가며 두 퍼텐셜을 바꿀 수 있다. 흔히 쓰이는 게이지로는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)와 로렌츠 게이지 등이 있다.

쿨롱 게이지[편집]

쿨롱 게이지에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 0인 조건을 추가하여 벡터 퍼텐셜을 정한다. 스칼라 퍼텐셜이 푸아송 방정식을 만족하기 때문에 정전기학에서 주로 쓰이는 게이지이다.

\nabla \cdot \mathbf{A} = 0
\nabla ^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon}

로렌츠 게이지[편집]

로렌츠 게이지에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 다음과 같은 관계를 만족하도록 한다. 전기장과 자기장이 시간에 따라 변화하는 일반적인 상황에서 주로 쓰이는 게이지이다.

\nabla \cdot \mathbf{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}

로렌츠 게이지 아래에서 맥스웰 방정식을 정리하면 두 퍼텐셜이 다음과 같은 두 방정식을 만족함을 알 수 있다.

\nabla ^2 \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J}
\nabla ^2 V - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_o}

스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관련된 위 두 방정식의 해는 다음과 같다.

V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'},t_r)}{|\mathbf{r-r'}|} d\tau'
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{|\mathbf{r-r'}|} d\tau'
t_r = t -\frac{|\mathbf{r-r'}|}{c}

t_r는 전기장과 자기장을 만드는 근원 역할을 하는 전하와 전류로부터 거리를 고려한 시간으로서 지연 시간(retarded time)이라고 부른다. 지연 시간으로 계산된 퍼텐셜을 지연 퍼텐셜이라고 부른다.

같이 보기[편집]